三角錐和四面體的區(qū)別

數(shù)學(xué)中只有三棱錐和四面體，這兩者本質(zhì)上是沒(méi)有區(qū)別的，三角錐只是一種特殊說(shuō)法。三棱錐是錐體的一種，由四個(gè)三角形組成，稱為四面體。底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐，稱作正三棱錐。

三棱錐相關(guān)內(nèi)容介紹

外心

若O是△ABC的外心，則OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC（射影的定義），因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA，tanPBO=OP/OB，tanPCO=OP/OC，由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。

綜上，可得到以下定理：

1.當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。

2.當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等時(shí)，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。

內(nèi)心

若O是△ABC的內(nèi)心，則O到三邊距離相等，且O在△ABC內(nèi)。設(shè)O到BC、AC、AB的垂線段分別為OD、OE、OF，那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD，tanPEO=OP/OE，tanPFO=OP/OF，因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB，即∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。

綜上，可得到以下定理：

1.當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。

2.當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等，且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么射影是內(nèi)心。