函數有界是什么意思 和極限存在的關系

函數有界就是指在函數的定義域內，這個函數的所有函數值的絕對值不會比某個固定的正數M大。顯然這個固定的正數M不是唯一的，比如若有一個正數M1滿足條件，則任何一個大于M1的正數M2也滿足條件，都可以作為定義里的固定數M，就像舉的例子sinx那樣。

函數有界是什么意思

函數有界性的定義：若存在兩個常數m和M，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D ，則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。外界函數有界，復合函數必有界。

函數有界，從幾何意義看就是圖形被框定在兩條平行于x軸的直線之間，不會跑出去；從代數意義看，就是函數值不會趨于正無窮大，也不會趨于負無窮大；當時并不意味著有極限，比如y=sinx，被框定在y=±1這兩條直線之間，x→∞時，sinx游走于[-1,+1]之間。

函數有界和極限存在的關系

一、本質不同

1、極限：某一個函數中的某一個變量，在不斷變化的過程中逐漸接近于某個值A。它不可能與a相吻合（“不等于a，但等于a”足以獲得高精度的計算結果）。

這個變量的變化被人為地定義為“永遠靠近而不停止”。它的趨勢是“不斷地極為靠近A點的趨勢”。

2、函數有界：如果有兩個常數m和M，函數y=f（x），x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D，函數y=f（x）有界于d，其中m為下界，M為上界。

二、幾何中的應用不同

1、函數有界有界

（1）函數在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

（2）從幾何學的角度很容易判別一個函數有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介于它們之間，那么函數一定是無界的。

2、極限

當n>N時，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味著：所有下標大于N的Xn都落在(a-ε，a+ε)內；而在(a-ε，a+ε)之外，數列{xn} 中的項至多只有N個（有限個）。

換句話說，如果存在某 ε0>0，使數列{xn} 中有無窮多個項落在(a-ε0，a+ε0) 之外，則{xn} 一定不以a為極限。