素?cái)?shù)的定義 素?cái)?shù)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)

素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù)(prime number)，有無限個(gè)。質(zhì)數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。在一個(gè)大于1的數(shù)a和它的2倍之間必存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。一個(gè)偶數(shù)可以寫成兩個(gè)合數(shù)之和，其中每一個(gè)合數(shù)都最多只有9個(gè)質(zhì)因數(shù)。

素?cái)?shù)是什么

質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。

質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn。如果 為素?cái)?shù)，則 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。因此無論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。

素?cái)?shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

1、素性檢測(cè)一般用于數(shù)學(xué)或者加密學(xué)領(lǐng)域。用一定的算法來確定輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。不同于整數(shù)分解，素性測(cè)試一般不能得到輸入數(shù)的素?cái)?shù)因子，只說明輸入數(shù)是否是素?cái)?shù)。大整數(shù)的分解是一個(gè)計(jì)算難題，而素性測(cè)試是相對(duì)更為容易(其運(yùn)行時(shí)間是輸入數(shù)字大小的多項(xiàng)式關(guān)系)。

2、素性測(cè)試通常是概率測(cè)試(不能給出100%正確結(jié)果)。這些測(cè)試使用除輸入數(shù)之外，從一些樣本空間隨機(jī)出去的數(shù);通常，隨機(jī)素性測(cè)試絕不會(huì)把素?cái)?shù)誤判為合數(shù)，但它有可能為把一個(gè)合數(shù)誤判為素?cái)?shù)。

3、數(shù)被利用在密碼學(xué)上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中(實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過程)，將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過程(分解質(zhì)因數(shù))過久，使即使取得信息也會(huì)無意義。