1/(1+x^4)的不定積分

1＋x^4＝(x^2－√2x＋1)(x^2＋√2x＋1),按有理函數的部分分解的方法,1/(1+x^4)＝1/(2√2)×[(x+√2)/(x^2+√2x+1)－(x-√2)/(x^2-√2x+1)]，接下來把分子拆成兩部分：一部分是分母的導數的一個倍數,一部分是常數,這是有理函數的不定積分的定式.

1/(1+x^4)的不定積分怎么算?

∫ dx/[x(1+x?)]。

令u=x?,du=4x3 dx

原式= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x3)

= (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du

= (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C

= (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C

= ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C