閉區間上連續函數的性質有哪些

有界性（最大值和最小之定理）：在閉區間上連續函數在該區間上有界且取得它的最大值和最小值。零點定理：設函數F(x)在閉區間[a,b]上連續函數，且F(a)與F(b)異號，那么在開區間（a,b)內至少有函數F(x)的一個零點，即至少有一點t(a<t<b),使F(t)=0。

閉區間上連續函數的性質

1.有界性（最大值和最小之定理）：在閉區間上連續函數在該區間上有界且取得它的最大值和最小值。

2.零點定理：設函數F(x)在閉區間[a,b]上連續函數，且F(a)與F(b)異號，那么在開區間（a,b)內至少有函數F(x)的一個零點，即至少有一點t(a<t<b),使F(t)=0。

3.介值定理：設函數F(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的短短取不同的函數值F(x)=A及F(x)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間（a,b）內至少有一點t,使得F(t)=C（a<c<b)。

閉區間上連續函數的知識點

(1)(最值定理)閉區間上的連續函數必取得最大值，最小值。

(2)(介值定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點取不同的函數值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點

(3)(零點定理)閉區間上的連續函數如果兩個端點函數值異號，則至少存在一點的函數值為0.

(4)(有界性)閉區間上的連續函數在該閉區間上必有界。

為什么函數在閉區間內連續不一定有界

其實在閉區間上的連續的函數在該區間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

所以閉區間上的連續函數一定是有界的。

根據連續函數的性質，閉區間上的連續函數必存在最大值M和最小值n,我們取這兩者絕對值較大者為K，顯然k是這函數的一個界。即閉區間內連續必有界。

但是，開區間上的連續函數不一定有最大值和最小值，因而存在函數極限趨于無窮大的情況。比如，y=1/x在(0,+∞）上無最大值和最小值，且x→0+，y→+∞。y=1/x在(0,+∞）上無界。