二項(xiàng)式定理系數(shù)

二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。在數(shù)學(xué)里，二項(xiàng)式系數(shù)，或組合數(shù)，是定義為形如(1+x)?展開(kāi)后x的系數(shù)（其中n為自然數(shù)，k為整數(shù)）。

二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)組合數(shù)學(xué)很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先后地選取k件的方法總數(shù)，因此也叫做組合數(shù)。從定義出發(fā)，把n個(gè)(1+x)項(xiàng)的乘積展開(kāi)，其中任意k項(xiàng)的x和n?k項(xiàng)的1相乘得出一個(gè)x，故此x的系數(shù)是從n個(gè)選取k個(gè)的方法總數(shù)。把各項(xiàng)的x標(biāo)記可以更清楚看出：當(dāng)n=4, k=2時(shí)，

二項(xiàng)式系數(shù)是楊輝三角的第n+1行從左起第k+1個(gè)數(shù)，它最先由楊輝發(fā)現(xiàn)。

二項(xiàng)式系數(shù)符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數(shù)學(xué)的意義推導(dǎo)出來(lái)。如第一式左項(xiàng)表示從n+1件選取k件的方法數(shù)，這些方法可分為沒(méi)有選取第n+1件，即是從其余n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個(gè)從n件選取k件的方法，也可看為選取其余n?k件的方法。