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2016遼陽市遼陽縣中考數學一模試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．﹣的絕對值是（　　）

A．﹣2016????????????? B．????????????? C．﹣????????????? D．2016

2．下面的計算正確的是（　?。?/p>

A．3x2?4x2=12x2????????????? B．x3?x5=x15????????????? C．x4÷x=x3????????????? D．（x5）2=x7

3．太陽的溫度很高，其表面溫度大概有6 000℃，而太陽中心的溫度達到了19 200 000℃，用科學記數法可將19 200 000表示為（　?。?/p>

A．1.92×106????????????? B．1.92×107????????????? C．1.92×108????????????? D．1.92×109

4．（2016遼陽數學）如圖，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，則∠2的大小是（　?。?/p>

A．55°????????????? B．65°????????????? C．75°????????????? D．85°

5．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體的側面積是（　?。?/p>

A．4π????????????? B．6π????????????? C．8π????????????? D．12π

6．（2016遼陽數學）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，將△ABC繞點 A逆時針旋轉75°，得到△AB′C′，過點B′作B′D⊥CA，交CA的延長線于點D，若AC=6，則AD的長為（　?。?/p>

A．2????????????? B．3????????????? C．2????????????? D．3

7．（2016遼陽數學）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根，則k的取值范圍是（　　）

A．k＞????????????? B．k≥????????????? C．k＞且k≠1????????????? D．k≥且k≠1

8．小明記錄了某市連續10天的最高氣溫如表：

那么關于這10天的最高氣溫的說法正確的是（　　）

A．中位數23.5????????????? B．眾數22????????????? C．方差46????????????? D．平均數24

9．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為O.1”．下列說法正確的是（　?。?/p>

A．抽10次獎必有一次抽到一等獎

B．抽一次不可能抽到一等獎

C．抽10次也可能沒有抽到一等獎

D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎

10．如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數y1和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與射線AC相交于點D．當△ODA是等邊三角形時，這兩個二次函數的最大值之和等于（　?。?/p>

A．????????????? B． ????????????? C．2????????????? D．

二、（2016遼陽數學）填空題（每小題3分，共24分）

11．把多項式2a3﹣8a分解因式的結果是　　　　　?。?/p>

12．使有意義的x的取值范圍是　　　　　?。?/p>

13．在一個不透明的口袋中，有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4，隨機地摸取一個小球記下標號后放回，再隨機地摸取一個小球記下標號，則兩次摸取的小球標號都是1的概率為　　　　　?。?/p>

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設DA=2，圖中陰影部分的面積為　　　　　?。?/p>

15．（2016遼陽數學）在江岸區創建文明城區的活動中，有兩段長度相等的彩色磚道鋪設任務，分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工．如圖是反映所鋪設彩色磚道的長度y（米）與施工時間x（時）之間關系的部分圖象．如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結果兩隊同時完成了任務，則甲隊從開始施工到完工所鋪設的彩色道磚的長度為　　　　　　米．

16．如圖，BC是⊙O弦，D是BC上一點，DO交⊙O于點A，連接AB、OC，若∠A=20°，∠C=30°，則∠AOC的度數為　　　　　　．

17．（2016遼陽數學）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的頂點O與原點重合，頂點B在x軸上，∠ABO=90°，OA與反比例函數y=的圖象交于點D，且OD=2AD，過點D作x軸的垂線交x軸于點C．若S四邊形ABCD=10，則k的值為　　　　　　．

18．如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2=　　　　　??；Sn=　　　　　?。ㄓ煤琻的式子表示）

三、（2016遼陽數學）解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

19．先化簡，后求值：，其中x=3．

20．為了貫徹“減負增效”精神，掌握2014～2015學年度九年級600名學生每天的自主學習情況，某校學生會隨機抽查了2014～2015學年度九年級的部分學生，并調查他們每天自主學習的時間．根據調查結果，制作了兩幅不完整的統計圖（圖1，圖2），請根據統計圖中的信息回答下列問題：

（1）本次調查的學生人數是　　　　　　人；

（2）圖2中α是　　　　　　度，并將圖1條形統計圖補充完整；

（3）請估算該校2014～2015學年度九年級學生自主學習時間不少于1.5小時有　　　　　　人；

（4）老師想從學習效果較好的4位同學（分別記為A，B，C，D，其中A為小亮）隨機選擇兩位進行學習經驗交流，用列表法或樹狀圖的方法求出選中小亮A的概率．

四、（2016遼陽數學）解答題（每題12分，共24分）

21．如圖，己知點A（1，）在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，連接OA，將線段OA繞點D順時針方向旋轉30°，得到線段OB．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）判斷點B是否在反比例函數圖象上，并說明理由；

（3）設直線AB的解析式為y=ax+b，請直接寫出不等式ax+b﹣＜0的解集．

22．某超市用3000元購進某種干果，由于銷售狀況良好，超市又用9000元第二次購進該干果，但第二次的進價比第一次的提高了20%，第二次購進干果數量是第一次的2倍還多300千克．

（1）求該干果的第一次進價是每千克多少元？

（2）百姓超市按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下的按售價的8折售完，若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元，則最多余下多少千克干果按售價的8折銷售．

五、（2016遼陽數學）解答題

23．如圖，某風景區的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據上述測量結果，請你幫小明計算A、B之間的距離是多少？（精確到1米，參考數據：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）

六（2016遼陽數學）、解答題

24．如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．

（1）求證：∠PCA=∠ABC；

（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P=，CF=5，求BE的長．

七、解答題

25．已知：正方形ABCD的邊長為4，點E為BC的中點，點P為AB上一動點，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直線PF交CD邊于點Q，交直線AD于點G，聯接EQ．

（1）如圖，當BP=1.5時，求CQ的長；

（2）如圖，當點G在射線AD上時，BP=x，DG=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）延長EF交直線AD于點H，若△CQE與△FHG相似，求BP的長．

八（2016遼陽數學）解答題

26．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=．

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F，若=時，求點P的坐標；

（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動點，直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由．

2016遼陽數學參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．﹣的絕對值是（　?。?/p>

A．﹣2016????????????? B．????????????? C．﹣????????????? D．2016

【考點】絕對值．

【分析】根據相反數的意義，求解即可．注意正數的絕對值是本身，0的絕對值為0，負數的絕對值是其相反數．

【解答】解：∵﹣的絕對值等于其相反數，

∴﹣的絕對值是．

故選B

2．（2016遼陽數學）下面的計算正確的是（　　）

A．3x2?4x2=12x2????????????? B．x3?x5=x15????????????? C．x4÷x=x3????????????? D．（x5）2=x7

【考點】同底數冪的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；單項式乘單項式．

【分析】根據單項式的乘法、同底數冪的乘法和除法、冪的乘方等知識點進行判斷．

【解答】解：A、3x2?4x2=12x4，故本選項錯誤；

B、x3?x5=x8，故本選項錯誤；

C、正確；

D、（x5）2=x10，故本選項錯誤．

故選C．

3．太陽的溫度很高，其表面溫度大概有6 000℃，而太陽中心的溫度達到了19 200 000℃，用科學記數法可將19 200 000表示為（　?。?/p>

A．1.92×106????????????? B．1.92×107????????????? C．1.92×108????????????? D．1.92×109

【考點】科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將19 200 000用科學記數法表示為：1.92×107．

故選：B．

4．（2016遼陽數學）如圖，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，則∠2的大小是（　　）

A．55°????????????? B．65°????????????? C．75°????????????? D．85°

【考點】平行線的性質．

【分析】先根據平行線的性質求出∠C，再根據三角形內角和定理求出∠2的大小即可．

【解答】解：∵BD∥AC，∠1=65°，

∴∠C=∠1=65°，

∵∠A=40°，

∴∠2=180°﹣∠A﹣∠C=75°，

故選C．

5．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體的側面積是（　　）

A．4π????????????? B．6π????????????? C．8π????????????? D．12π

【考點】（2016遼陽數學）由三視圖判斷幾何體．

【分析】根據三視圖正視圖以及左視圖都為矩形，底面是圓形，則可想象出這是一個圓柱體．側面積=底面周長×高．

【解答】解：∵圓柱的直徑為2，高為3，

∴側面積為2××2×3π=6π．

故選B．

6．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，將△ABC繞點 A逆時針旋轉75°，得到△AB′C′，過點B′作B′D⊥CA，交CA的延長線于點D，若AC=6，則AD的長為（　　）

A．2????????????? B．3????????????? C．2????????????? D．3

【考點】旋轉的性質．

【分析】在直角△ABC中利用勾股定理即可求得AB的長，則AB′的長即可求得，然后根據旋轉角的定義利用角的和差求得∠B′AD的度數，在直角△B′AD中利用三角函數即可求解．

【解答】（2016遼陽數學）解：在直角△ABC中，AB===6，

則AB'=AB=6．

在直角△B'AD中，∠B′AD=180°﹣∠BAC﹣∠BAB′=180°﹣45°﹣75°=60°．

則AD=AB′?cos∠B′AD=6×=3．

故選D．

7．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根，則k的取值范圍是（　　）

A．k＞????????????? B．k≥????????????? C．k＞且k≠1????????????? D．k≥且k≠1

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．

【分析】根據判別式的意義得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等實數根，

∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，

解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．

故選：C．

8．（2016遼陽數學）小明記錄了某市連續10天的最高氣溫如表：

那么關于這10天的最高氣溫的說法正確的是（　　）

A．中位數23.5????????????? B．眾數22????????????? C．方差46????????????? D．平均數24

【考點】方差；加權平均數；中位數；眾數．

【分析】利用方差的計算公式、加權平均數的計算公式、中位數及眾數的定義分別求解后即可確定正確的選項．

【解答】解：A、排序后位于中間位置的兩數為25，25，故中位數為25，故錯誤；

B、數據26出現了4次，最多，故眾數為26，故錯誤；

平均數為（20+22×3+25×2+26×4）=24，

方差為 [（20﹣24）2+3×（22﹣24）2+2×（25﹣24）2+4×（26﹣24）2]=44，故錯誤；

故D正確，

故選D．

9．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為O.1”．下列說法正確的是（　?。?/p>

A．抽10次獎必有一次抽到一等獎

B．抽一次不可能抽到一等獎

C．抽10次也可能沒有抽到一等獎

D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎

【考點】（2016遼陽數學）概率的意義．

【分析】根據概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現進行解答即可．

【解答】解：根據概率的意義可得“抽到一等獎的概率為O.1”就是說抽10次可能抽到一等獎，也可能沒有抽到一等獎，

故選：C．

10．如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數y1和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與射線AC相交于點D．當△ODA是等邊三角形時，這兩個二次函數的最大值之和等于（　　）

A．????????????? B． ????????????? C．2????????????? D．

【考點】（2016遼陽數學）二次函數的最值；等邊三角形的性質．

【分析】連接PB、PC，根據二次函數的對稱性可知OB=PB，PC=AC，從而判斷出△POB和△ACP是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求解即可．

【解答】解：如圖，連接PB、PC，

由二次函數的性質，OB=PB，PC=AC，

∵△ODA是等邊三角形，

∴∠AOD=∠OAD=60°，

∴△POB和△ACP是等邊三角形，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴點B、C的縱坐標之和為4×=2，

即兩個二次函數的最大值之和等于2．

故選C．

二、（2016遼陽數學）填空題（每小題3分，共24分）

11．把多項式2a3﹣8a分解因式的結果是　2a（a+2）（a﹣2）?。?/p>

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】首先提取公因式進而利用平方差公式法分解因式得出即可．

【解答】解：2a3﹣8a=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2）．

故答案為：2a（a+2）（a﹣2）．

12．使有意義的x的取值范圍是　x≥2?。?/p>

【考點】二次根式有意義的條件．

【分析】當被開方數x﹣2為非負數時，二次根式才有意義，列不等式求解．

【解答】解：根據二次根式的意義，得

x﹣2≥0，解得x≥2．

13．（2016遼陽數學）在一個不透明的口袋中，有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4，隨機地摸取一個小球記下標號后放回，再隨機地摸取一個小球記下標號，則兩次摸取的小球標號都是1的概率為　?。?/p>

【考點】列表法與樹狀圖法．

【分析】列表得出所有等可能的情況數，找出兩次摸取的小球標號都是1的情況數，即可求出所求的概率．

【解答】解：列表如下：

所有等可能的情況有16種，其中兩次摸取的小球標號都是1的情況有1種，

則P=．

故答案為：

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設DA=2，圖中陰影部分的面積為　π﹣2?。?/p>

【考點】矩形的性質；扇形面積的計算．

【分析】（2016遼陽數學）根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠AED=30°，然后求出DE，再根據陰影部分的面積=S扇形AEF﹣S△ADE列式計算即可得解．

【解答】解：∵AB=2DA，AB=AE（扇形的半徑），

∴AE=2DA=2×2=4，

∴∠AED=30°，

∴∠DAE=90°﹣30°=60°，

DE===2，

∴陰影部分的面積=S扇形AEF﹣S△ADE，

=﹣×2×2，

=π﹣2．

故答案為：π﹣2．

15．在江岸區創建文明城區的活動中，有兩段長度相等的彩色磚道鋪設任務，分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工．如圖是反映所鋪設彩色磚道的長度y（米）與施工時間x（時）之間關系的部分圖象．如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結果兩隊同時完成了任務，則甲隊從開始施工到完工所鋪設的彩色道磚的長度為　110　米．

【考點】（2016遼陽數學）一次函數的應用．

【分析】（1）設函數關系是為y=kx+b，然后利用待定系數法求解即可；

（2）先求出甲隊的速度，然后設甲隊從開始到完工所鋪設彩色磚道的長度為z米，再根據6小時后兩隊所用的時間相等列方程求解即可．

【解答】解：（1）設乙隊在2≤x≤6的時段內y與x之間的函數關系式為y=kx+b，

由圖可知，函數圖象過點（2，30），（6，50），

，

解得．

∴y=5x+20；

（2）由圖可知，甲隊速度是：60÷6=10（米/時），

設甲隊從開始到完工所鋪設彩色道磚的長度為z米，

依題意得，

解得z=110．

答：甲隊從開始到完工所鋪設彩色道磚的長度為110米．

16．如圖，BC是⊙O弦，D是BC上一點，DO交⊙O于點A，連接AB、OC，若∠A=20°，∠C=30°，則∠AOC的度數為　100°?。?/p>

【考點】（2016遼陽數學）圓周角定理．

【分析】設∠AOC=x°，根據圓周角定理得到∠B的度數，根據三角形的外角的性質列出方程，解方程得到答案．

【解答】解：設∠AOC=x°，則∠B=x°，

∵∠AOC=∠ODC+∠C，∠ODC=∠B+∠A，

∴x=20°+30°+x，

解得x=100°．

故答案為：100°．

17．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的頂點O與原點重合，頂點B在x軸上，∠ABO=90°，OA與反比例函數y=的圖象交于點D，且OD=2AD，過點D作x軸的垂線交x軸于點C．若S四邊形ABCD=10，則k的值為　﹣16?。?/p>

【考點】相似三角形的判定與性質；反比例函數系數k的幾何意義．

【分析】（2016遼陽數學）證△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根據三角形面積公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．

【解答】解：∵OD=2AD，

∴=，

∵∠ABO=90°，DC⊥OB，

∴AB∥DC，

∴△DCO∽△ABO，

∴===，

∴=（）2=，

∵S四邊形ABCD=10，

∴S△ODC=8，

∴OC×CD=8，

OC×CD=16，

∵雙曲線在第二象限，

∴k=﹣16，

故答案為：﹣16．

18．（2016遼陽數學）如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2=　　；Sn=　?。ㄓ煤琻的式子表示）

【考點】相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．

【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，則Sn的值也可用含n的式子表示出來．

【解答】（2016遼陽數學）解：由于各三角形為等邊三角形，且各邊長為2，過各三角形的頂點B1、B2、B3…向對邊作垂線，垂足為M1、M2、M3，

∵△AB1C1是等邊三角形，

∴AD1=AC1?sin60°=2×=，

∵△B1C1B2也是等邊三角形，

∴C1B1是∠AC1B2的角平分線，

∴AD1=B2D1=，

故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；

S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，連接BB1，則B2，B3，…Bn在一條直線上．

∵Bn Cn∥AB，

∴==，

∴BnDn=?AB=，

則DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是邊長是2的等邊三角形，因而面積是：．

△Bn+1DnCn面積為Sn=?=?=．

即第n個圖形的面積Sn=．

三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

19．先化簡，后求值：，其中x=3．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】首先將括號里面通分，能分解因式的分解因式，進而化簡后求值得出．

【解答】解：，

=（+）×

=×

=，

當x=3時，原式==．

20．（2016遼陽數學）為了貫徹“減負增效”精神，掌握2014～2015學年度九年級600名學生每天的自主學習情況，某校學生會隨機抽查了2014～2015學年度九年級的部分學生，并調查他們每天自主學習的時間．根據調查結果，制作了兩幅不完整的統計圖（圖1，圖2），請根據統計圖中的信息回答下列問題：

（1）本次調查的學生人數是　40　人；

（2）圖2中α是　54　度，并將圖1條形統計圖補充完整；

（3）請估算該校2014～2015學年度九年級學生自主學習時間不少于1.5小時有　330　人；

（4）老師想從學習效果較好的4位同學（分別記為A，B，C，D，其中A為小亮）隨機選擇兩位進行學習經驗交流，用列表法或樹狀圖的方法求出選中小亮A的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖．

【分析】（2016遼陽數學）（1）由自主學習的時間是1小時的有12人，占30%，即可求得本次調查的學生人數；

（2）由×360°=54°，40×35%=14；即可求得答案；

（3）首先求得這40名學生自主學習時間不少于1.5小時的百分比，然后可求得該校九年級學生自主學習時間不少于1.5小時的人數；

（4）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與選中小亮A的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵自主學習的時間是1小時的有12人，占30%，

∴12÷30%=40，

故答案為：40；

?。?）×360°=54°，

40×35%=14；補充圖形如圖：

，

故答案為：54；

（3）600×=330，

故答案為：330；

（4）畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，選中小亮A的有6種，

∴P（A）==．

四、（2016遼陽數學）解答題（每題12分，共24分）

21．如圖，己知點A（1，）在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，連接OA，將線段OA繞點D順時針方向旋轉30°，得到線段OB．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）判斷點B是否在反比例函數圖象上，并說明理由；

（3）設直線AB的解析式為y=ax+b，請直接寫出不等式ax+b﹣＜0的解集．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征可計算出k=，于是得到反比例函數解析式為y=；

（2）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，在Rt△OAE中根據正切定義得到tan∠AOE=，則∠AOE=30°，所以OA=2AE=2，再根據旋轉的性質得∠AOB=30°，OB=OA=2，于是可計算出∠BOF=30°，接著在Rt△BOF中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得BF=OB=1，OF=BF=，則B（，1），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷點B（，1）是否在反比例函數y=的圖象上；

（2）觀察函數圖象，寫出反比例函數圖象在直線AB上方所對應的自變量的范圍即可．

【解答】（2016遼陽數學）解：（1）∵點A（1，）在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，

∴k=1×=，

∴反比例函數解析式為y=；

（2）點B在反比例函數圖象上．理由如下：

作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，

在Rt△OAE中，∵AE=1，OE=，

∴tan∠AOE==，

∴∠AOE=30°，OA=2AE=2，

∵線段OA繞點O順時針方向旋轉30°，得到線段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOF=30°，

在Rt△BOF中，BF=OB=1，

OF=BF=，

∴B（，1），

∵當x=時，y==1，

∴點B（，1）在反比例函數y=的圖象上；

（2）0＜x＜1或x＞．

22．（2016遼陽數學）某超市用3000元購進某種干果，由于銷售狀況良好，超市又用9000元第二次購進該干果，但第二次的進價比第一次的提高了20%，第二次購進干果數量是第一次的2倍還多300千克．

（1）求該干果的第一次進價是每千克多少元？

（2）百姓超市按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下的按售價的8折售完，若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元，則最多余下多少千克干果按售價的8折銷售．

【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．

【分析】（1）設該種干果的第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克（1+20%）x元．根據第二次購進干果數量是第一次的2倍還多300千克，列出方程，解方程即可求解．

（2）根據利潤=售價﹣進價列出不等式并解答．

【解答】解：（1）設該種干果的第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克（1+20%）x元，

由題意，得=2×+300，

解得x=5，

經檢驗x=5是方程的解．

答：該種干果的第一次進價是每千克5元．

（2）設當大部分干果售出后，余下a千克按售價的8折售完，

由題意得：[+﹣a]×9+9×80%a﹣≥5820，

解得a≤600．

答：當大部分干果售出后，余下的按售價的8折售完，若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元，則最多余下600千克干果按售價的8折銷售．

五、（2016遼陽數學）解答題

23．如圖，某風景區的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測得B在北偏東32°方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據上述測量結果，請你幫小明計算A、B之間的距離是多少？（精確到1米，參考數據：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．

【分析】本題可通過構建直角三角形來解答，過點C作AB的垂線交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角邊，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，進而得出AB的長．

【解答】（2016遼陽數學）解：過點C作AB的垂線交AB于D，

∵B點在A點的正東方向上，

∴∠ACD=45°，∠DCB=32°，

在Rt△BCD中，BC=100，

∴DB=BCsin32°≈1000.5299=52.99（米），

CD=BCcos32°≈1000.8480=84.80（米），

在Rt△ACD中，AD=CD，

∴AB=AD+DB≈84.80+52.99=137.79（米）≈138（米）．

六、（2016遼陽數學）解答題

24．如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．

（1）求證：∠PCA=∠ABC；

（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P=，CF=5，求BE的長．

【考點】切線的性質；勾股定理；解直角三角形．

【分析】（1）連接OC，由PC切⊙O于點C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB為⊙O的直徑，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，證得∠OCA=∠OAC，于是得到結論；

（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根據垂徑定理得到，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根據等腰三角形的性質得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，設OC=r，根據勾股定理得到方程r2=（r﹣4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD=，得到于是求得結論．

【解答】（2016遼陽數學）（1）證明：連接OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠PCA=∠ABC；

（2）解：∵AE∥PC，

∴∠PCA=∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ACF=∠ABC，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠ACF=∠CAF，

∴CF=AF，

∵CF=5，

∴AF=5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD=∠P，

∵sin∠P=，

∴sin∠FAD=，

在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=，

∴FD=3，AD=4，∴CD=8，

在Rt△OCD中，設OC=r，

∴r2=（r﹣4）2+82，

∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，

∵sin∠EAD=，∴，

∵AB=20，

∴BE=12．

七、（2016遼陽數學）解答題

25．已知：正方形ABCD的邊長為4，點E為BC的中點，點P為AB上一動點，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直線PF交CD邊于點Q，交直線AD于點G，聯接EQ．

（1）如圖，當BP=1.5時，求CQ的長；

（2）如圖，當點G在射線AD上時，BP=x，DG=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）延長EF交直線AD于點H，若△CQE與△FHG相似，求BP的長．

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）首先確定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD的長度；

（2）根據△PBE∽△ECQ，求出DQ的表達式；由QD∥AP，列出比例式求解；

（3）本問分兩種情形，需要分類討論，避免漏解．

【解答】（2016遼陽數學）解：（1）由翻折性質，可知PE為∠BPQ的角平分線，且BE=FE．

∵點E為BC中點，

∴EC=EB=EF，

∴QE為∠CQP的角平分線．

∵AB∥CD，

∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，

∴∠EPQ+∠EQP=90°，

∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．

易證△PBE∽△ECQ，

∴，即，

解得：CQ=．

（2）由（1）知△PBE∽△ECQ，

∴，即，

∴CQ=，∴DQ=4﹣．

∵QD∥AP，∴，又AP=4﹣x，AG=4+y，

∴，

∴y=（1＜x＜2）．

（3）（2016遼陽數學）由題意知：∠C=90°=∠GFH．

①當點G在線段AD的延長線上時，如答圖1所示．

由題意知：∠G=∠CQE

∵∠CQE=∠FQE，

∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．

∵∠DQG+∠G=90°，

∴∠G=30°，

∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，

∴BP=BE?tan30°=；

②當點G在線段DA的延長線上時，如答圖2所示．

由題意知：∠FHG=∠CQE．

同理可得：∠G=30°，

∴∠BPE=∠G=30°，

∴∠BEP=60°，

∴BP=BE?tan60°=．

綜上所述，BP的長為或．

八、（2016遼陽數學）解答題

26．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=．

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F，若=時，求點P的坐標；

（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動點，直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由．

【考點】二次函數綜合題；勾股定理；相似三角形的判定與性質．

【分析】（2016遼陽數學）（1）由拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=，求出c的值，進而求出拋物線方程；

（2）如圖1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可證△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例關系，求出P點坐標；

（3）首先求出D點坐標，寫出直線MD的表達式，由兩直線平行，兩三角形相似，可得NG∥MD，直線QG解析式．

【解答】解：（1）∵M為拋物線y=﹣+c的頂點，

∴M（2，c）．

∴OH=2，MH=|c|．

∵a＜0，且拋物線與x軸有交點，

∴c＞0，

∴MH=c，

∵sin∠MOH=，

∴=．

∴OM=c，

∵OM2=OH2+MH2，

∴MH=c=4，

∴M（2，4），

∴拋物線的函數表達式為：y=﹣+4．

（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，

∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．

∴△OEH∽△HFM，

∴==，

∵=，

∴MF=HF，

∴∠OHP=∠FHM=45°，

∴OP=OH=2，

∴P（0，2）．

（2016遼陽數學）如圖2，同理可得，P（0，﹣2）．

（3）∵A（﹣1，0），

∴D（1，0），

∵M（2，4），D（1，0），

∴直線MD解析式：y=4x﹣4，

∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，

∴===，

∴AN=，ON=，N（0，）．

如圖3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，

∴直線QG解析式：y=4x+，

如圖4，若△ANG∽△ADM，可得=

∴AG=，

∴G（，0），

∴QG：y=﹣x+，

綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：y=4x+或y=﹣x+．

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