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2018年商丘中考數學復習題

一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個答案，其中只有一個正確選項）

1．﹣3的倒數是（　　）

A．3????????????? B．﹣3????????????? C．????????????? D．

2．下列各運算中，計算正確的是（　　）

A． =±3????????????? B．2a+3b=5ab????????????? C．（﹣3ab2）2=9a2b4????????????? D．（a﹣b）2=a2﹣b2

3．據新華社北京2017年1月20日電國家統計局20日發布數據，初步核算，2016年我國國內生產總值（GDP）約74萬億元，若將74萬億用科學記數法表示為（　　）

A．7.4×1013????????????? B．7.4×1012????????????? C．74×1013????????????? D．0.74×1012

4．如圖是由棱長為1的正方體搭成的某幾何體三視圖，則圖中棱長為1的正方體的個數是（　　）

A．5????????????? B．6????????????? C．7????????????? D．8

5．小紅同學四次中考數學模擬考試成績分別是：96，104，104，116，關于這組數據下列說法錯誤的是（　　）

A．平均數是105????????????? B．眾數是104????????????? C．中位數是104????????????? D．方差是50

6．方程（x﹣2）（x﹣4）=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為（　　）

A．6????????????? B．8????????????? C．10????????????? D．8或10

7．一次函數y=﹣3x+b和y=kx+1的圖象如圖所示，其交點為P（3，4），則不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在數軸上表示正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

8．現有四張完全相同的卡片，上面分別標有數字0，1，2，3，把卡片背面朝上洗勻，然后從中隨機抽取兩張卡片組成一個兩位數，則這個兩位數是偶然的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．若點A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在拋物線y=﹣（x+2）2﹣1上，則（　　）

A．y1＜y3＜y2 ????????????? B．y2＜y1＜y3????????????? C．y3＜y2＜y1????????????? D．y3＜y1＜y2

10．如圖，在?ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則S△DEF：S△AOB的值為（　　）

A．1：3????????????? B．1：5????????????? C．1：6????????????? D．1：11

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．計算：|﹣2|﹣=　　．

12．如圖，若AB∥CD，∠C=60°，則∠A+∠E=　　度．

13．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=上，第二象限的點B在反比例函數y=上，且OA⊥OB，tanA=，則k的值為　　．

14．如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C在上，CD⊥OA，垂足為點D，當△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為　　．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，點E為射線BC上一動點，將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E．若B′恰好落在射線CD上，則BE的長為　　．

三、解答題（本大題共8題，滿分75分）

16．先化簡，再求值：÷（1﹣），其中x=+2．

17．為了解2016年初中畢業生畢業后的去向，某縣教育局對部分初三學生進行了抽樣調查，就初三學生的四種去向（A，讀普通高中；B，讀職業高中； C，直接進入社會就業； D，其它）進行數據統計，并繪制了兩幅不完整的統計圖（a）、（b）．請根據圖中信息解答下列問題：

（1）該縣共調查了多少名初中畢業生？

（2）通過計算，將兩幅統計圖中不完整的部分補充完整；

（3）若該縣2016年初三畢業生共有4500人，請估計該縣今年的初三畢業生中準備讀普通高中的學生人數．

18．如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點．

（1）直接寫出ED和EC的數量關系：　　；

（2）DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

（3）填空：當BC=　　時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是　　．

19．如圖，一次函數y=kx+3的圖象分別交x軸、y軸于點B、點C，與反比例函數y=的圖象在第四象限的相交于點P，并且PA⊥y軸于點A，已知A （0，﹣6），且S△CAP=18．

（1）求上述一次函數與反比例函數的表達式；

（2）設Q是一次函數y=kx+3圖象上的一點，且滿足△OCQ的面積是△BCO面積的2倍，求出點Q的坐標．

20．由于發生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區救援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象．在廢墟一側地面上探測點A、B相距2米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深度．（參考數據：≈1.414，，1.732，結果精確到0.1）

21．某批發市場有中招考試文具套裝，其中A品牌的批發價是每套20元，B品牌的批發價是每套25元，小王需購買A、B兩種品牌的文具套裝共1000套．

（1）若小王按需購買A、B兩種品牌文具套裝共用22000元，則各購買多少套？

（2）憑會員卡在此批發市場購買商品可以獲得8折優惠，會員卡費用為500元．若小王購買會員卡并用此卡按需購買1000套文具套裝，共用了y元，設A品牌文具套裝買了x包，請求出y與x之間的函數關系式．

（3）若小王購買會員卡并用此卡按需購買1000套文具套裝，共用了20000元，他計劃在網店包郵銷售這兩種文具套裝，每套文具套裝小王需支付郵費8元，若A品牌每套銷售價格比B品牌少5元，請你幫他計算，A品牌的文具套裝每套定價不低于多少元時才不虧本（運算結果取整數）？

22．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，連接DF、CF．

（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數量關系和位置關系（不用證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；

（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD=1，AC=，求此時線段CF的長（直接寫出結果）．

23．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸負半軸交于點C．

（1）若△ABD為等腰直角三角形，求此時拋物線的解析式；

（2）a為何值時△ABC為等腰三角形？

（3）在（1）的條件下，拋物線與直線y=x﹣4交于M、N兩點（點M在點N的左側），動點P從M點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點N，若使點P運動的總路徑最短，求點P運動的總路徑的長．

2018年商丘中考數學復習題參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個答案，其中只有一個正確選項）

1．﹣3的倒數是（　　）

A．3????????????? B．﹣3????????????? C．????????????? D．

【考點】倒數．

【分析】直接根據倒數的定義進行解答即可．

【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，

∴﹣3的倒數是﹣．

故選：D．

2．下列各運算中，計算正確的是（　　）

A． =±3????????????? B．2a+3b=5ab????????????? C．（﹣3ab2）2=9a2b4????????????? D．（a﹣b）2=a2﹣b2

【考點】完全平方公式；算術平方根；合并同類項；冪的乘方與積的乘方．

【分析】根據算術平方根定義可判斷A，根據同類項定義可判斷B，根據冪的運算可判斷C，根據完全平方公式可判斷D．

【解答】解：A、=3，故此選項錯誤；

B、2a、3b不是同類項，無法合并，故此選項錯誤；

C、（﹣3ab2）2=9a2b4，故此選項正確；

D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此選項錯誤；

故選：C.

3．據新華社北京2017年1月20日電國家統計局20日發布數據，初步核算，2016年我國國內生產總值（GDP）約74萬億元，若將74萬億用科學記數法表示為（　　）

A．7.4×1013????????????? B．7.4×1012????????????? C．74×1013????????????? D．0.74×1012

【考點】科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將74萬億用科學記數法表示為7.4×1013，

故選：A.

4．如圖是由棱長為1的正方體搭成的某幾何體三視圖，則圖中棱長為1的正方體的個數是（　　）

A．5????????????? B．6????????????? C．7????????????? D．8

【考點】由三視圖判斷幾何體．

【分析】易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層正方體的個數，由主視圖和左視圖可得第二層正方體的個數，相加即可．

【解答】解：由俯視圖易得最底層有5個正方體，第二層有1個正方體，那么共有5+1=6個正方體組成，

故選B．

5．小紅同學四次中考數學模擬考試成績分別是：96，104，104，116，關于這組數據下列說法錯誤的是（　　）

A．平均數是105????????????? B．眾數是104????????????? C．中位數是104????????????? D．方差是50

【考點】方差；算術平均數；中位數；眾數．

【分析】由平均數、眾數、中位數、方差的定義即可判斷．

【解答】解：（A）平均數為： =105，故A正確；

（B）出現最多的數據是104，故B正確；

（C）先排序：96、104、104、116，所以中位數為=104，故C正確；

（D）方差為： [（96﹣105）2+2+2+2]=51，故D錯誤

故選（D）

6．方程（x﹣2）（x﹣4）=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為（　　）

A．6????????????? B．8????????????? C．10????????????? D．8或10

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=4，再根據三角形三邊的關系判斷等腰三角形的底為2，腰為4，然后計算這個等腰三角形的周長．

【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）=0，

∴x﹣2=0或x﹣4=0，

∴x1=2，x2=4，

∵當2為腰，4為底時，2+2=4，不符合三角形三邊的關系，

∴等腰三角形的底為2，腰為4，

∴這個等腰三角形的周長=2+4+4=10．

故選C．

7．一次函數y=﹣3x+b和y=kx+1的圖象如圖所示，其交點為P（3，4），則不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在數軸上表示正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】一次函數與一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集．

【分析】觀察圖象，直線y=kx+1落在直線y=﹣3x+b上方的部分對應的x的取值范圍即為所求．

【解答】解：∵一次函數y=﹣3x+b和y=kx+1的圖象交點為P（3，4），

∴當x≥3時，kx+1≥﹣3x+b，

∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集為x≥3，

在數軸上表示為：

故選B．

8．現有四張完全相同的卡片，上面分別標有數字0，1，2，3，把卡片背面朝上洗勻，然后從中隨機抽取兩張卡片組成一個兩位數，則這個兩位數是偶然的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】列表法與樹狀圖法．

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與這個兩位數是偶數的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結果，這個兩位數是偶數的有5種情況，

∴這個兩位數是偶數的概率是：，

故選：B．

9．若點A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在拋物線y=﹣（x+2）2﹣1上，則（　　）

A．y1＜y3＜y2 ????????????? B．y2＜y1＜y3????????????? C．y3＜y2＜y1????????????? D．y3＜y1＜y2

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】分別把﹣4、﹣1、1代入解析式進行計算，比較即可．

【解答】解：y1=﹣（﹣4+2）2﹣1=﹣3，

y2=﹣（﹣1+2）2﹣1=﹣，

y3=﹣（1+2）2﹣1=﹣，

則y3＜y1＜y2，

故選：D．

10．如圖，在?ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則S△DEF：S△AOB的值為（　　）

A．1：3????????????? B．1：5????????????? C．1：6????????????? D．1：11

【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．

【分析】根據平行四邊形的性質可知BO=DO，又因為E為OD的中點，所以DE：BE=1：3，根據相似三角形的性質可求出S△DEF：S△BAE．然后根據=，即可得到結論．

【解答】解：∵O為平行四邊形ABCD對角線的交點，

∴DO=BO，

又∵E為OD的中點，

∴DE=DB，

∴DE：EB=1：3，

又∵AB∥DC，

∴△DFE∽△BAE，

∴=（）2=，

∴S△DEF=S△BAE，

∵=，

∴S△AOB=S△BAE，

∴S△DEF：S△AOB==1：6，

故選C．

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．計算：|﹣2|﹣=　﹣1　．

【考點】算術平方根．

【分析】先算絕對值和算術平方根，再算減法即可求解．

【解答】解：|﹣2|﹣

=2﹣3

=﹣1．

故答案為：﹣1．

12．如圖，若AB∥CD，∠C=60°，則∠A+∠E=　60　度．

【考點】平行線的性質；三角形的外角性質．

【分析】本題主要利用兩直線平行，同位角相等和三角形的外角的性質進行做題．

【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C與它的同位角相等，

根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，

所以∠A+∠E=∠C=60度．

故填60．

13．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=上，第二象限的點B在反比例函數y=上，且OA⊥OB，tanA=，則k的值為　﹣　．

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．

【分析】作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D，易證△OBD∽△AOC，則面積的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根據反比例函數中比例系數k的幾何意義即可求解．

【解答】解：作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D．

則∠BDO=∠ACO=90°，

則∠BOD+∠OBD=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∴△OBD∽△AOC，

∴=（）2=（tanA）2=，

又∵S△AOC=×2=1，

∴S△OBD=，

∴k=﹣．

故答案為：﹣．

14．如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C在上，CD⊥OA，垂足為點D，當△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為　2π﹣4　．

【考點】扇形面積的計算；二次函數的最值；勾股定理．

【分析】由OC=4，點C在上，CD⊥OA，求得DC==，運用S△OCD=OD?，求得OD=2時△OCD的面積最大，運用陰影部分的面積=扇形AOC的面積﹣△OCD的面積求解．

【解答】解：∵OC=4，點C在上，CD⊥OA，

∴DC==

∴S△OCD=OD?

∴=OD2?（16﹣OD2）=﹣OD4+4OD2=﹣（OD2﹣8）2+16

∴當OD2=8，即OD=2時△OCD的面積最大，

∴DC===2，

∴∠COA=45°，

∴陰影部分的面積=扇形AOC的面積﹣△OCD的面積=﹣×2×2=2π﹣4，

故答案為：2π﹣4．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，點E為射線BC上一動點，將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E．若B′恰好落在射線CD上，則BE的長為　或15　．

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質．

【分析】如圖1，根據折疊的性質得到AB′=AB=5，B′E=BE，根據勾股定理得到BE2=（3﹣BE）2+12，

于是得到BE=，如圖2，根據折疊的性質得到AB′=AB=5，求得AB=BF=5，根據勾股定理得到CF=4根據相似三角形的性質列方程得到CE=12，即可得到結論．

【解答】解：如圖1，∵將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，B′E=BE，∴CE=3﹣BE，∵AD=3，∴DB′=4，∴B′C=1，∵B′E2=CE2+B′C2，

∴BE2=（3﹣BE）2+12，

∴BE=，

如圖2，∵將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵AE垂直平分BB′，

∴AB=BF=5，

∴CF=4，

∵CF∥AB，

∴△CEF∽△ABE，

∴，

即=，

∴CE=12，∴BE=15，

綜上所述：BE的長為：或15，

故答案為：或15．

三、解答題（本大題共8題，滿分75分）

16．先化簡，再求值：÷（1﹣），其中x=+2．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】先算括號里面的，再算除法，把x的值代入進行計算即可．

【解答】解：原式=÷

=?

=，

當x=+2時，原式===．

17．為了解2016年初中畢業生畢業后的去向，某縣教育局對部分初三學生進行了抽樣調查，就初三學生的四種去向（A，讀普通高中；B，讀職業高中； C，直接進入社會就業； D，其它）進行數據統計，并繪制了兩幅不完整的統計圖（a）、（b）．請根據圖中信息解答下列問題：

（1）該縣共調查了多少名初中畢業生？

（2）通過計算，將兩幅統計圖中不完整的部分補充完整；

（3）若該縣2016年初三畢業生共有4500人，請估計該縣今年的初三畢業生中準備讀普通高中的學生人數．

【考點】條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．

【分析】（1）根據A的人數與所占的百分比列式進行計算即可得解；

（2）求出B的人數，再求出C所占的百分比，然后補全統計圖即可；

（3）用總人數乘以A所占的百分比40%，計算即可得解．

【解答】解：（1）40÷40%=100名，

則該縣共調查了100名初中畢業生

（2）B的人數：100×30%=30名，

C所占的百分比為：×100%=25%，

補全統計圖如圖；

（3）根據題意得：4500×40%=1800名，

答：今年的初三畢業生中準備讀普通高中的學生人數是1800．

18．如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點．

（1）直接寫出ED和EC的數量關系：　ED=EC　；

（2）DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

（3）填空：當BC=　2　時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是　正方形　．

【考點】切線的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．

【分析】（1）連結CD，如圖，由圓周角定理得到∠ADC=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線直線得到DE=CE=BE；

（2）連結OD，如圖，利用切線性質得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根據切線的判定定理可判斷DE是⊙O的切線；

（3）要判斷四邊形AOED是平行四邊形，則DE=OA=1，所以BC=2，當BC=2時，△ACB為等腰直角三角形，則∠B=45°，又可判斷△BCD為等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四邊形AOED是平行四邊形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判斷四邊形OCED為正方形．

【解答】解：（1）連結CD，如圖，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵E是BC的中點，

∴DE=CE=BE；

（2）DE是⊙O的切線．理由如下：

連結OD，如圖，

∵BC為切線，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）當BC=2時，

∵CA=CB=2，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴DE⊥BC，DE=BC=1，

∵OA=DE=1，AO∥DE，

∴四邊形AOED是平行四邊形；

∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，

∴四邊形OCED為正方形．

故答案為ED=EC；2，正方形．

19．如圖，一次函數y=kx+3的圖象分別交x軸、y軸于點B、點C，與反比例函數y=的圖象在第四象限的相交于點P，并且PA⊥y軸于點A，已知A （0，﹣6），且S△CAP=18．

（1）求上述一次函數與反比例函數的表達式；

（2）設Q是一次函數y=kx+3圖象上的一點，且滿足△OCQ的面積是△BCO面積的2倍，求出點Q的坐標．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）由一次函數表達式可得出點C的坐標，結合A點坐標以及三角形的面積公式可得出AP的長度，從而得出點P的坐標，由點P的坐標結合待定系數法即可求出一次函數及反比例函數的表達式；

（2）設點Q的坐標為（m，﹣m+3）．由一次函數的表達式可找出點B的坐標，結合等底三角形面積的性質可得出關于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，將其代入點Q的坐標中即可．

【解答】解：（1）令一次函數y=kx+3中的x=0，則y=3，

即點C的坐標為（0，3），

∴AC=3﹣（﹣6）=9．

∵S△CAP=AC?AP=18，

∴AP=4，

∵點A的坐標為（0，﹣6），

∴點P的坐標為（4，﹣6）．

∵點P在一次函數y=kx+3的圖象上，

∴﹣6=4k+3，解得：k=﹣；

∵點P在反比例函數y=的圖象上，

∴﹣6=，解得：n=﹣24．

∴一次函數的表達式為y=﹣x+3，反比例函數的表達式為y=﹣．

（2）令一次函數y=﹣x+3中的y=0，則0=﹣x+3，

解得：x=，

即點B的坐標為（，0）．

設點Q的坐標為（m，﹣m+3）．

∵△OCQ的面積是△BCO面積的2倍，

∴|m|=2×，解得：m=±，

∴點Q的坐標為（﹣，9）或（，﹣3）．

20．由于發生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區救援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象．在廢墟一側地面上探測點A、B相距2米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深度．（參考數據：≈1.414，，1.732，結果精確到0.1）

【考點】解直角三角形的應用．

【分析】根據銳角三角函數可以求得點C到地面的距離，從而可以解答本題．

【解答】解：如圖所示，過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，

由題意可知，∠CAD=30°，∠CBD=60°，

設CD=x米，

則BD=，AD=，

∵AB=2米，AD=AB+BD，

∴AD=2+BD，

∴2+=，

解得，x≈1.7

即生命所在點C的深度是1.7米．

21．某批發市場有中招考試文具套裝，其中A品牌的批發價是每套20元，B品牌的批發價是每套25元，小王需購買A、B兩種品牌的文具套裝共1000套．

（1）若小王按需購買A、B兩種品牌文具套裝共用22000元，則各購買多少套？

（2）憑會員卡在此批發市場購買商品可以獲得8折優惠，會員卡費用為500元．若小王購買會員卡并用此卡按需購買1000套文具套裝，共用了y元，設A品牌文具套裝買了x包，請求出y與x之間的函數關系式．

（3）若小王購買會員卡并用此卡按需購買1000套文具套裝，共用了20000元，他計劃在網店包郵銷售這兩種文具套裝，每套文具套裝小王需支付郵費8元，若A品牌每套銷售價格比B品牌少5元，請你幫他計算，A品牌的文具套裝每套定價不低于多少元時才不虧本（運算結果取整數）？

【考點】一次函數的應用．

【分析】（1）設小王需購買A、B兩種品牌文具套裝分別為x套、y套，則，據此求出小王購買A、B兩種品牌文具套裝分別為多少套即可．

（2）根據題意，可得y=500+0.8×[20x+25]，據此求出y與x之間的函數關系式即可．

（3）首先求出小王購買A、B兩種品牌文具套裝分別為多少套，然后設A品牌文具套裝的售價為z元，則B品牌文具套裝的售價為z+5元，所以125z+875（z+5）≥20000+8×1000，據此求出A品牌的文具套裝每套定價不低于多少元時才不虧本即可．

【解答】解：（1）設小王夠買A品牌文具x套，夠買B品牌文具y套，

根據題意，得：，

解得：，

答：小王夠買A品牌文具600套，夠買B品牌文具400套．

（2）y=500+0.8[20x+25]

=500+0.8

=500+20000﹣4x

=﹣4x+20500，

∴y與x之間的函數關系式是：y=﹣4x+20500．

（3）根據題意，得：﹣4x+20500=20000，解得：x=125，

∴小王夠買A品牌文具套裝為125套、夠買B品牌文具套裝為875套，

設A品牌文具套裝的售價為z元，則B品牌文具套裝的售價為（z+5）元，

由題意得：125z+875（z+5）≥20000+8×1000，

解得：z≥23.625，

答：A品牌的文具套裝每套定價不低于24元時才不虧本．　

22．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，連接DF、CF．

（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數量關系和位置關系（不用證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；

（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD=1，AC=，求此時線段CF的長（直接寫出結果）．

【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；勾股定理．

【分析】（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．

（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．

（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，進而可以根據勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，

∴DF=BE，CF=BE，

∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°

∵BF=DF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF，

同理得：∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，

∴DF=CF，且DF⊥CF．

（2）（1）中的結論仍然成立．

證明：如圖，此時點D落在AC上，延長DF交BC于點G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，

∴DE∥BC．

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F為BE中點，

∴EF=BF．

∴△DEF≌△GBF．

∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，

∴AD=GB，

∵AC=BC，

∴AC﹣AD=BC﹣GB，

∴DC=GC．

∵∠ACB=90°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF=GF．

∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）延長DF交BA于點H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋轉可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中點，

∴EF=BF，

∴△DEF≌△HBF，

∴ED=HB，

∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB=4，

∵AD=1，

∴ED=BH=1，

∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得

DH=，

∴DF=，

∴CF=

∴線段CF的長為．

23．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸負半軸交于點C．

（1）若△ABD為等腰直角三角形，求此時拋物線的解析式；

（2）a為何值時△ABC為等腰三角形？

（3）在（1）的條件下，拋物線與直線y=x﹣4交于M、N兩點（點M在點N的左側），動點P從M點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點N，若使點P運動的總路徑最短，求點P運動的總路徑的長．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由△ABD是等腰直角三角形確定出D（1，﹣2），用待定系數法確定出函數關系式；

（2）由△ABC為等腰三角形，利用勾股定理求出a即可；

（3）由于拋物線與直線y=x﹣4交于M、N兩點，先求出M，N的坐標，利用對稱性求出點G，H的坐標即可．

【解答】解：（1）如圖1，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴過點D作直線l∥y軸，直線l與x軸交于點I．

∴AI=ID=IB=AB=2，

∴D（1，﹣2），

∴設y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，

∴a﹣2a﹣3a=﹣2，

∴a=，

∴y=x2﹣x﹣，

（2）∵△ABC為等腰三角形，

∴①AB=BC=4，

∴OC==，

∴﹣3a=﹣，

∴a=，

②AB=AC=4，

∴OC==，

∴C（0，﹣），

∴﹣3a=﹣，

∴a=．

（3）如圖2，

∵拋物線與直線y=x﹣4交于M、N兩點，

∴，

∴，，

∴M（2，﹣），N（，﹣）．

作點M關于對稱軸l的對稱點G，

點N關于x軸的對稱點H，

連接GH交l于E，x軸于F，

∴EM=EH，FN=FH

∴點P運動的總路徑為GH，

∵G（0，﹣），H（，），

∴GH=．

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