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2018年岳陽中考數學模擬試題

一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，共24分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，請你將選擇的答案字母序號填入題中的括號內）

1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

2．下列計算正確的是（　　）

A．a2?a3=a6????????????? B．y3÷y3=y????????????? C．3m+3n=6mn????????????? D．（x3）2=x6

3．下列說法正確的是（　?。?/p>

A．為了了解全國中學生的心理健康情況，應采用全面調查的方式

B．一組數據5，7，7，7，7，7，8，10的眾數和中位數都是7

C．一個游戲的中獎概率是0.1，則做10次這樣的游戲一定會中獎

D．若甲組數據的方差S甲2=0.05，乙組數據的方差S乙2=0.1，則乙組數據比甲組數據穩定

4．下列判斷正確的是（　?。?/p>

A．a＞b，c＜0，則ac＞bc

B．垂直于同一直線的兩條直線平行

C．三角形的外角大于內角

D．直徑所對的圓周角是直角

5．下列四個水平放置的幾何體中，三視圖如圖所示的是（　?。?/p>

A．立方體????????????? B．三棱柱????????????? C．圓柱????????????? D．長方體

6．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，則下列結論正確的是（　　）

A．ac＞0

B．方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣1，x2=3

C．2a﹣b=0

D．當x＞0時，y隨x的增大而減小

7．如圖所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點，設AC=2，BD=1，AP=x，則△AMN的面積為y，則y關于x的函數圖象的大致形狀是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

8．如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作BC的平行線交AC于E，交過點A的切線于D，交AC于F，則下列結論①AF=CF；②∠D=∠BAC；③AD=AC；④OD⊥AC中，正確的是（　?。?/p>

A．①②③????????????? B．①②④????????????? C．②③④????????????? D．①③④

二、填空題（本大題共8道小題，每小題4分，滿分共32分）

9．﹣3的絕對值是　?。?/p>

10．把多項式4a3﹣a分解因式的結果是　?。?/p>

11．已知圓錐主視圖是邊長為4的正三角形（即底面直徑與母線長相等），則圓錐側面積展開圖扇形的圓心角為　?。?/p>

12．一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有實數根，則a的取值范圍是　　

13．小亮把全班50名同學的期中數學測試成績繪成如圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個小長方形高的比是1：3：5：1，從中隨機抽一份恰好為最低分數段的概率是　?。?/p>

14．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為　?。?/p>

15．如圖是由大小相同的小立方體木塊疊入而成的幾何體，圖（1）中有1個立方體，圖（2）中有4個立方體，圖（3）中有9個立方體，…按這樣的規律疊放下去，第8個圖中小立方體個數是　　．

16．如圖，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三條對應邊BC、CE、EF在同一條直線上，連接BH，分別交AC、DC、DE于點P、Q、K，其中S△PQC=1，則圖中三個陰影部分的面積和為　　．

三、解答題（本大題8小題，滿分共64分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．計算：（﹣）﹣1﹣4cos30°﹣（π+2013）0+．

18．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．

19．先化簡，再選擇一個你所喜歡的數代入求值：（ +）÷．

20．如圖，已知：△ABC是⊙O的內接三角形，D是OA延長線上的一點，連接DC，且∠B=∠D=30°．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若AC=6，求圖中弓形（即陰影部分）的面積．

21．第三十屆夏季奧林匹克運動會將于2012年7月27日至8月12日在英國倫敦舉行，目前正在進行火炬傳遞活動．某校學生會為了確定近期宣傳專刊的主題，想知道學生對倫敦奧運會火炬傳遞路線的了解程度，決定隨機抽取部分學生進行一次問卷調查，并根據收集到的信息進行了統計，繪制了如圖兩幅上不完整的統計圖．請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）接受問卷調查的學生共有　　名；

（2）請補全折線統計圖，并求出扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角的大??；

（3）若該校共有1200名學生，請根據上述調查結果估計該校學生中對倫敦奧運火炬傳遞路線達到了“了解”和“基本了解”程度的總人數．

22．某工廠計劃生產A、B兩種產品共60件，需購買甲、乙兩種材料，生產一件A產品需甲種材料4千克，乙種材料1千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各3千克，經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金155元．

（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？

（2）現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過9900元，且生產B產品不少于38件，問符合生產條件的生產方案有哪幾種？

23．如圖①，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，求證：MN=AM+CN．

如圖②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，點M、N分別在AD、CD上．若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想并給予證明．

24．如圖已知：直線y=﹣x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D的坐標為（﹣1，0），在直線y=﹣x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

2018年岳陽中考數學模擬試題參考答案

一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，共24分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，請你將選擇的答案字母序號填入題中的括號內）

1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．

故選C．

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．

2．下列計算正確的是（　?。?/p>

A．a2?a3=a6????????????? B．y3÷y3=y????????????? C．3m+3n=6mn????????????? D．（x3）2=x6

【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．

【分析】結合選項根據同底數冪的乘法、同底數冪的除法和冪的乘方與積的乘方的概念及運算法則求解即可．

【解答】解：A、a2?a3=a5≠a6，本選項錯誤；

B、y3÷y3=1≠y，本選項錯誤；

C、3m+3n=3（m+n）≠6mn，本選項錯誤；

D、（x3）2=x6，本選項正確．

故選D．

【點評】本題主要考查了同底數冪的乘法、同底數冪的除法和冪的乘方與積的乘方的知識，解答本題的關鍵在于熟練掌握各知識點的概念和運算法則．

3．下列說法正確的是（　?。?/p>

A．為了了解全國中學生的心理健康情況，應采用全面調查的方式

B．一組數據5，7，7，7，7，7，8，10的眾數和中位數都是7

C．一個游戲的中獎概率是0.1，則做10次這樣的游戲一定會中獎

D．若甲組數據的方差S甲2=0.05，乙組數據的方差S乙2=0.1，則乙組數據比甲組數據穩定

【考點】概率的意義；全面調查與抽樣調查；中位數；眾數；方差．

【分析】分別利用概率的意義以及抽樣調查的意義以及中位數、眾數的定義和方差的意義分別分析得出答案．

【解答】解：A、為了了解全國中學生的心理健康情況，應采用抽樣調查的方式，故此選項錯誤；

B、一組數據5，7，7，7，7，7，8，10的眾數和中位數都是7，正確；

C、一個游戲的中獎概率是0.1，則做10次這樣的游戲不一定會中獎，故此選項錯誤；

D、若甲組數據的方差S甲2=0.05，乙組數據的方差S乙2=0.1，則甲組數據比乙組數據穩定，故此選項錯誤．

故選：B．

【點評】此題主要考查了概率的意義以及抽樣調查的意義以及中位數、眾數的定義和方差的意義，正確把握相關定義是解題關鍵．

4．下列判斷正確的是（　?。?/p>

A．a＞b，c＜0，則ac＞bc

B．垂直于同一直線的兩條直線平行

C．三角形的外角大于內角

D．直徑所對的圓周角是直角

【考點】圓周角定理；不等式的性質；平行線的判定；三角形的外角性質．

【分析】分別根據等式的性質、平行線的判定定理、三角形外角的性質及圓周角定理對各選項進行逐一判斷即可．

【解答】解：A、當a=1，b=﹣2時，a＞b，c＜0，則ac＜bc，故本選項錯誤；

B、在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行，故本選項錯誤；

C、三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，故本選項錯誤；

D、符合圓周角定理．

故選D．

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關鍵．

5．下列四個水平放置的幾何體中，三視圖如圖所示的是（　　）

A．立方體????????????? B．三棱柱????????????? C．圓柱????????????? D．長方體

【考點】由三視圖判斷幾何體；簡單幾何體的三視圖．

【分析】通過主視圖、左視圖可對A、D進行判斷；通過俯視圖對B、C進行判斷．

【解答】解：A、立方體的三視圖都是正方形，所以A選項錯誤；

B、三棱柱的俯視圖為三角形，所以B選項錯誤；

C、圓柱得俯視圖為圓，所以C選項錯誤；

D、長方形的主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為正方形，所以D選項正確．

故選D．

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復雜幾何體的想象會有幫助．

6．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，則下列結論正確的是（　　）

A．ac＞0

B．方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣1，x2=3

C．2a﹣b=0

D．當x＞0時，y隨x的增大而減小

【考點】二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點．

【專題】計算題；壓軸題．

【分析】根據拋物線的開口方向，對稱軸，與x軸、y軸的交點，逐一判斷．

【解答】解：A、∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故A錯誤；

B、∵拋物線對稱軸是x=1，與x軸交于（3，0），∴拋物線與x軸另一交點為（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣1，x2=3，故B正確；

C、∵拋物線對稱軸為x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b=0，故C錯誤；

D、∵拋物線對稱軸為x=1，開口向下，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，故D錯誤．

故選：B．

【點評】本題考查了拋物線與二次函數系數之間的關系．關鍵是會利用對稱軸的值求2a與b的關系，對稱軸與開口方向確定增減性，以及二次函數與方程之間的轉換．

7．如圖所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點，設AC=2，BD=1，AP=x，則△AMN的面積為y，則y關于x的函數圖象的大致形狀是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】動點問題的函數圖象．

【專題】幾何動點問題；壓軸題；分類討論．

【分析】△AMN的面積=AP×MN，通過題干已知條件，用x分別表示出AP、MN，根據所得的函數，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

【解答】解：（1）當0＜x≤1時，如圖，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；

∵MN⊥AC，∴MN∥BD；

∴△AMN∽△ABD，

∴，

即，，MN=x；

∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），

∵，∴函數圖象開口向上；

（2）當1＜x＜2，如圖，

同理證得，△CDB∽△CNM，

，

即，，MN=2﹣x；

∴y=AP×MN=x×（2﹣x），

y=﹣x2+x；

∵﹣，∴函數圖象開口向下；

綜上，答案C的圖象大致符合；

故選：C．

【點評】本題考查了二次函數的圖象，考查了學生從圖象中讀取信息的數形結合能力，體現了分類討論的思想．

8．如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作BC的平行線交AC于E，交過點A的切線于D，交AC于F，則下列結論①AF=CF；②∠D=∠BAC；③AD=AC；④OD⊥AC中，正確的是（　　）

A．①②③????????????? B．①②④????????????? C．②③④????????????? D．①③④

【考點】切線的性質；垂徑定理．

【分析】由AB為半圓O的直徑，得到∠C=90°，根據平行線的性質得到∠OEA=90°，由垂直的定義得到OD⊥AC，故④正確，根據垂徑定理得到=，求得AF=CF，故①正確；根據平行線的性質得到∠B=∠AOD，由切線的性質得到∠DAO=90°，根據余角的性質得到∠D=∠BAC，故②正確，由已知條件不能判斷△ADO≌△ABC，于是得到AD不一定等于AC，故③錯誤．

【解答】解：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD∥BC，

∴∠OEA=90°，

∴OD⊥AC，故④正確，

∴=，

∴AF=CF，故①正確；

∵OE∥BC，

∴∠B=∠AOD，

∵AD是⊙O的切線，

∴∠DAO=90°，

∴∠D+∠AOD=90°，

∵∠BAC+∠B=90°，

∴∠D=∠BAC，故②正確，

∵由已知條件不能判斷△ADO≌△ABC，

∴AD不一定等于AC，故③錯誤，

故選B．

【點評】本題考查切線的性質、垂徑定理，平行線的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．

二、填空題（本大題共8道小題，每小題4分，滿分共32分）

9．﹣3的絕對值是　3　．

【考點】絕對值．

【分析】計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．

【解答】解：﹣3的絕對值是3．

【點評】規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．

10．把多項式4a3﹣a分解因式的結果是　a（2a+1）（2a﹣1）?。?/p>

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【專題】因式分解．

【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a（4a2﹣1）=a（2a+1）（2a﹣1），

故答案為：a（2a+1）（2a﹣1）

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

11．已知圓錐主視圖是邊長為4的正三角形（即底面直徑與母線長相等），則圓錐側面積展開圖扇形的圓心角為　180°?。?/p>

【考點】圓錐的計算；弧長的計算；簡單幾何體的三視圖．

【分析】由于圓錐主視圖是邊長為4的正三角形（即底面直徑與母線長相等），由此得到圓錐的底面半徑和母線長，而圓錐的側面展開圖是扇形，接著利用扇形的面積公式即可求解．

【解答】解：設圓錐側面積展開圖扇形的圓心角的度數為n，

∵圓錐主視圖是邊長為4的正三角形（即底面直徑與母線長相等），

∴圓錐的底面半徑和母線長分別是2和4，

∴S圓錐側面積=×2×2×π×4=，

∴n=180°．

故答案為：180°．

【點評】本題主要考查圓錐側面展開圖的知識和圓錐側面面積的計算；解決此類圖的關鍵是由立體圖得到平面圖形；學生由于空間想象能力不夠，找不到圓錐的底面半徑，或者對圓錐的側面面積公式運用不熟練，易造成錯誤

12．一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有實數根，則a的取值范圍是　a≤2且a≠1　

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．

【專題】計算題．

【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有實數根，則a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）=8﹣4a≥0，然后解兩個不等式得到a的取值范圍．

【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有實數根，

∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）=8﹣4a≥0，解得a≤2，

∴a的取值范圍是a≤2且a≠1．

故答案為a≤2且a≠1．

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b2﹣4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了一元二次方程的定義．

13．小亮把全班50名同學的期中數學測試成績繪成如圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個小長方形高的比是1：3：5：1，從中隨機抽一份恰好為最低分數段的概率是　　．

【考點】概率公式；條形統計圖．

【分析】算出最低分數段的學生人數，根據概率公式解答即可．

【解答】解：設第一個長方形的高為x，則二、三、四個小長方形高分別為3x，5x，x，

由題意得x+3x+5x+x=50，

解得x=5，

即最低分為5人，

根據概率公式從中隨機抽一份恰好為最低分數段的概率是5÷10=從中同時抽一份最低分數段和一份最高分數段的成績的概率分別是=．

故答案為：．

【點評】本題考查概率公式，頻率分布直方圖的知識，難度不大，注意掌握如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

14．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為　9?。?/p>

【考點】等腰三角形的判定與性質；角平分線的定義；平行線的性質．

【專題】幾何圖形問題．

【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用兩直線平行，內錯角相等，利用等量代換可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得結論．

【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9，

故答案為：9．

【點評】題考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解與掌握．此題關鍵是證明△BME，△CNE是等腰三角形．

15．如圖是由大小相同的小立方體木塊疊入而成的幾何體，圖（1）中有1個立方體，圖（2）中有4個立方體，圖（3）中有9個立方體，…按這樣的規律疊放下去，第8個圖中小立方體個數是　64?。?/p>

【考點】規律型：圖形的變化類．

【專題】規律型．

【分析】觀察可得，每增加一層，小方體木塊為圖形中層數的平方；如第二個圖形中小方體的個數為22=4，故第8個疊放的圖形中，小方體木塊的個數就是82．

【解答】解：觀察可得：圖（1）中有立方體有1層，其個數為12=1個立方體；

圖（2）中有2層立方體，其個數為22=4個立方體；

圖（3）中有3層立方體，其個數為32=9個立方體，

…

可以發現：圖（n）中立方體的層數為n，其個數為n2．

所以，第8個圖中小立方體個數是82=64．

故答案為：64．

【點評】此題考查了平面圖形的有規律變化，要求學生通過觀察圖形，分析、歸納發現其中的規律，并應用規律解決問題．

16．如圖，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三條對應邊BC、CE、EF在同一條直線上，連接BH，分別交AC、DC、DE于點P、Q、K，其中S△PQC=1，則圖中三個陰影部分的面積和為　13?。?/p>

【考點】相似三角形的判定與性質．

【專題】規律型．

【分析】根據全等三角形對應角相等，可以證明AC∥DE∥HF，再根據全等三角形對應邊相等BC=CE=EF，然后利用平行線分線段成比例定理求出HF=3PC，KE=2PC，所以PC=DK，設△DQK的邊DK為x，DK邊上的高為h，表示出△DQK的面積，再根據邊的關系和三角形的面積公式即可求出三部分陰影部分的面積．

【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，

∴∠ACB=∠DEC=∠HFE，BC=CE=EF，

∴AC∥DE∥HF，

∴=， ==，

∴KE=2PC，HF=3PC，

又∵DK=DE﹣KE=3PC﹣2PC=PC，

∴△DQK≌△CQP（相似比為1）

設△DQK的邊DK為x，DK邊上的高為h，

則xh=1，整理得xh=2，

S△BPC=x?2h=xh=2，

S四邊形CEKQ=×3x?2h﹣2=3xh﹣2=3×2﹣1=6﹣1=5，

S△EFH=×3x?2h=3xh=6，

∴三個陰影部分面積的和為：2+5+6=13．

故答案為13．

【點評】本題主要利用全等三角形的性質，找出陰影部分的圖形邊的關系和三角形的面積公式的解題的關鍵．

三、解答題（本大題8小題，滿分共64分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．計算：（﹣）﹣1﹣4cos30°﹣（π+2013）0+．

【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．

【專題】計算題；實數．

【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，特殊角的三角函數值，以及二次根式性質計算即可得到結果．

【解答】解：原式=﹣2﹣4×﹣1+2=﹣3．

【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

18．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．

【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣“同小取小”確定不等式組的解集，再根據“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則在數軸上將解集表示出來．

【解答】解：解不等式x+3＜4，得：x＜1，

解不等式3（2﹣x）﹣9＞6，得：x＜﹣3，

∴不等式組的解集為：x＜﹣3，

將不等式組的解集表示在數軸上如下：

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

19．先化簡，再選擇一個你所喜歡的數代入求值：（ +）÷．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】先算括號里面的，再算除法，選出合適的x的值代入進行計算即可．

【解答】解：原式=?（x+2）（x﹣2）

=x2﹣2x+2x+4

=x2+4．

當x=1時，原式=1+4=5．

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．

20．如圖，已知：△ABC是⊙O的內接三角形，D是OA延長線上的一點，連接DC，且∠B=∠D=30°．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若AC=6，求圖中弓形（即陰影部分）的面積．

【考點】切線的判定與性質；扇形面積的計算；解直角三角形．

【分析】（1）連接OC．欲證明DE是⊙O的切線，只需證明DC⊥OC即可；

（2）利用弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積計算陰影部分的面積即可．

【解答】解：（1）直線CD是⊙O的切線

理由如下：

如圖，連接OC

∵∠AOC、∠ABC分別是AC所對的圓心角、圓周角

∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°

∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°

∴∠DCO=90°

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）過O作OE⊥AC，點E為垂足

∵OA=OC，∠AOC=60°

∴△AOC是等邊三角形

∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°

在Rt△AOE中

OE=OA?sin∠OAC=6?sin60°=3

∴S△AOC=

∵S扇形AOC==6π

∴S陰=S扇形AOC﹣S△AOC=6π﹣9

【點評】本題考查了切線的判定與性質、解直角三角形；證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明該半徑垂直于這一線段來判定切線．

21．第三十屆夏季奧林匹克運動會將于2012年7月27日至8月12日在英國倫敦舉行，目前正在進行火炬傳遞活動．某校學生會為了確定近期宣傳?？闹黝}，想知道學生對倫敦奧運會火炬傳遞路線的了解程度，決定隨機抽取部分學生進行一次問卷調查，并根據收集到的信息進行了統計，繪制了如圖兩幅上不完整的統計圖．請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）接受問卷調查的學生共有　60　名；

（2）請補全折線統計圖，并求出扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角的大??；

（3）若該校共有1200名學生，請根據上述調查結果估計該校學生中對倫敦奧運火炬傳遞路線達到了“了解”和“基本了解”程度的總人數．

【考點】折線統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．

【分析】（1）用了解很少的學生數除以其所占的百分比即可求出答案；

（2）用總數減去不了解、了解很少、了解的學生數，即可補全折線統計圖；再用360°乘以基本了解部分所占的百分比即可求出扇形的圓心角的度數；

（3）用該校學生數乘以對倫敦奧運火炬傳遞路線達到了“了解”和“基本了解”程度的總人數所占的百分比即可．

【解答】解：（1）根據題意得：30÷50%=60（名）

故答案為：60．

（2）如圖：60﹣10﹣15﹣30=5（名）；

“基本了解”部分所對應扇形的圓心角是：360°×=90°；

（3）該校學生中對倫敦奧運火炬傳遞路線達到了“了解”和“基本了解”程度的總人數是：1200×=400（名）．

【點評】本題考查了折線統計圖和扇形統計圖，解決本題的關鍵是從兩種統計圖中整理出解題的有關信息，在扇形統計圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360°的比．

22．某工廠計劃生產A、B兩種產品共60件，需購買甲、乙兩種材料，生產一件A產品需甲種材料4千克，乙種材料1千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各3千克，經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金155元．

（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？

（2）現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過9900元，且生產B產品不少于38件，問符合生產條件的生產方案有哪幾種？

【考點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的應用．

【分析】（1）設甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根據購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金155元，可列出方程組，解方程組即可求得；

（2）設生產A產品m件，生產B產品（60﹣m）件，根據用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過9900元，且生產B產品不少于38件即可列不等式求得m的范圍，然后確定正整數解即可確定方案．

【解答】解：（1）解：（1）設甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，

則，解得，

所以甲材料每千克25元，乙材料每千克35元；

（2）設生產A產品m件，生產B產品（60﹣m）件，則生產這60件產品的材料費為

25×4m+35×1m+25×3（60﹣m）+35×3（60﹣m）=﹣45m+10800，

由題意：﹣45m+10800≤9900，解得m≥20，

又∵60﹣m≥38，解得m≤22，

∴20≤m≤22，

∴m的值為20，21，22，

共有三種方案：

①生產A產品20件，生產B產品40件；

②生產A產品21件，生產B產品39件；

③生產A產品22件，生產B產品38件．

【點評】本題考查了一次函數的應用：通過實際問題列出一次函數關系式，然后根據一次函數的性質解決問題．也考查了二元一次方程組以及一元一次不等式組的應用．

23．如圖①，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，求證：MN=AM+CN．

如圖②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，點M、N分別在AD、CD上．若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想并給予證明．

【考點】梯形；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．

【分析】（1）把△ABM繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據旋轉變換的性質，△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證．

（2）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據等腰梯形的性質可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據旋轉變換的性質，△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證．

【解答】（1）證明：如圖1，把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴點M′、C、N三點共線，

∵∠MBN=45°=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC=45°，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN；

（2）解：MN=AM+CN．

理由如下：

如圖2，∵BC∥AD，AB=BC=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠A+∠BCD=180°，

把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴點M′、C、N三點共線，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN．

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰梯形的兩底角互補，利用旋轉變換作輔助線，構造出全等三角形，把MN、AM、CN通過等量轉化到兩個全等三角形的對應邊是解題的關鍵，本題靈活性較強，對同學們的能力要求較高．

24．如圖已知：直線y=﹣x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D的坐標為（﹣1，0），在直線y=﹣x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）首先確定A、B、C三點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）△ABO為等腰直角三角形，若△ADP與之相似，則有兩種情形，如答圖1所示．利用相似三角形的性質分別求解，避免遺漏；

（3）如答圖2所示，分別計算△ADE的面積與四邊形APCE的面積，得到面積的表達式．利用面積的相等關系得到一元二次方程，將點E是否存在的問題轉化為一元二次方程是否有實數根的問題，從而解決問題．需要注意根據（2）中P點的不同位置分別進行計算，在這兩種情況下，一元二次方程的判別式均小于0，即所求的E點均不存在．

【解答】解：（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經過A、B、C三點，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入y=ax2+bx+c，

得方程組

解得：

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3????????????

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形，如答圖1所示，

若△ABO∽△AP1D，則

∴DP1=AD=4，

∴P1（﹣1，4）

若△ABO∽△ADP2 ，過點P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4，

∵△ABO為等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點M與點C重合，

∴P2（1，2）

綜上所述，點P的坐標為P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答圖2，設點E（x，y），則 S△ADE=

①當P1（﹣1，4）時，

S四邊形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|

∴2|y|=4+|y|，

∴|y|=4

∵點E在x軸下方，

∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0

∴此方程無解

②當P2（1，2）時，

S四邊形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，

∴2|y|=2+|y|，

∴|y|=2

∵點E在x軸下方，

∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E．

【點評】本題重點考查了拋物線的相關性質、相似三角形的性質、圖形面積的計算以及一元二次方程根的判別式，涉及的知識點較多．注意在（2）（3）問中，均有兩種情形，需要分類討論計算，避免漏解；（3）問中是否存在點E的問題，轉化為一元二次方程實數根個數的問題，需要注意這種解題方法．作為中考壓軸題，本題綜合性強，難度較大，有利于提高學生的綜合解題能力，是一道不錯的題目．

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