2017年廣東省中山一中協作體中考數學壓軸題【精編解析版】

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一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，滿分30分）

1．實數﹣的相反數是（）

A．????????????? B．3????????????? C．﹣3????????????? D．﹣

2．如圖，由5個完全相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的左視圖是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

3．地球平均半徑約等于6 400 000米，6 400 000用科學記數法表示為（）

A．64×105????????????? B．6.4×105????????????? C．6.4×106????????????? D．6.4×107

4．如圖，直線MA∥NB，∠A=50°，∠B=20°，則∠P=（）度．

A．20????????????? B．25????????????? C．30????????????? D．35

5．下列計算正確的是（）

A．a2+a2=a4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．2a2﹣a2=2????????????? D．a5?a2=a7

6．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數是（）

A．25°????????????? B．30°????????????? C．35°????????????? D．40°

7．下列命題是假命題的是（）

A．若a＞b，則ac2＞bc2????????????? B．若a＞b，則a+c＞b+c

C．若ac2＞bc2，則a＞b????????????? D．若a＞b，b＞c，則a＞c

8．一個盒子內裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（）

A．????????????? B．????????????? C．π????????????? D．2π

10．如圖，將足夠大的等腰直角三角板PCD的銳角頂點P放在另一個等腰直角三角板PAB的直角頂點處，三角板PCD繞點P在平面內轉動，且∠CPD的兩邊始終與斜邊AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N，設AB=2，AN=x，BM=y，則能反映y與x的函數關系的圖象大致是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分）

11．一個多邊形的每一個外角都等于30°，則該多邊形的內角和等于　?? 　．

12．已知+|a﹣b+2|=0，則ab=　?? 　．

13．分解因式：﹣2a3+8a2﹣8a=　?? 　．

14．關于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是　?? 　．

15．如圖，在平面直角坐標系中，函數y=2x和y=﹣x的圖象分別為直線l1，l2，過點（1，0）作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過點A3作y軸的垂線交l2于點A4，…依次進行下去，則點A2017的坐標為　?? 　．

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為　?? 　（結果保留π）．

三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：|1﹣|﹣2sin45°+（）﹣2+．

18．先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a=2，b=．

19． 如圖，在△ABC中，AB=BC，點D在AB的延長線上．

（1）用尺規按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①作∠CBD的平分線BM；

②作邊BC上的中線AE，并延長AE交BM于點F．

（2）求證：BF∥AC．

四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）

20． 為了了解某市九年級學生的體育成績（成績均為整數），隨機抽取了部分學生的體育成績并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5）統計，得到統計圖、表如圖．

根據上面的信息，回答下列問題：

（1）統計表中，a=　?? 　，b=　?? 　，c=　?? 　；將頻數分布直方圖補充完整．

（2）小明說：“這組數據的眾數一定在C中．”你認為小明的說法正確嗎？　?? 　（選填“正確”或“錯誤”）．

（3）若成績在27分及以上定為優秀，則該市30000名九年級學生中體育成績為優秀的學生人數約有多少？

21．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG，BF．

（1）求證：AG=FG；

（2）求cos∠BGE的值．

22．某商店第一次用600元購進某品牌的筆記本若干本，第二次又用600元購進同樣品牌的筆記本，但這次每本的進價是第一次的1.25倍，購進數量比第一次少了30本．

（1）求第一次每本筆記本的進價是多少元？

（2）商店以同一價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每本筆記本的售價至少多少元？

五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）

23．如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）直接寫出關于x的不等式kx+b≤的解集．

（3）點P是x軸上的一點，且使PA+PB最小，求△ABP的面積．

24．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點E，且∠CBD=∠COD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若點E為線段OD的中點，判斷以O、A、C、E為頂點的四邊形的形狀并證明；

（3）如圖2，作CF⊥AB于點F，連接AD交CF于點G，求的值．

25．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動．已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（0＜x＜6）．

（1）點G在四邊形ABCD的邊上時，x=　?? 　；點F與點C重合時，x=　?? 　；

（2）求出使△DFC成為等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG與四邊形ABCD重疊部分的面積y與x之間的函數關系式，并直接寫出y的最大值．

2017年廣東省中山一中協作體中考數學壓軸題參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，滿分30分）

1．實數﹣的相反數是（）

A．????????????? B．3????????????? C．﹣3????????????? D．﹣

【考點】28：實數的性質．

【分析】根據相反數的定義選擇正確的選項即可．

【解答】解：實數﹣的相反數是﹣（﹣）=，

故選A．

2．如圖，由5個完全相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的左視圖是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】U2：簡單組合體的三視圖．

【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在左視圖中．

【解答】解：從左面看易得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形．

故選B．

3．地球平均半徑約等于6 400 000米，6 400 000用科學記數法表示為（）

A．64×105????????????? B．6.4×105????????????? C．6.4×106????????????? D．6.4×107

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：6 400 000=6.4×106，

故選：C．

4．如圖，直線MA∥NB，∠A=50°，∠B=20°，則∠P=（）度．

A．20????????????? B．25????????????? C．30????????????? D．35

【考點】JA：平行線的性質．

【分析】根據平行線的性質和三角形外角的性質即可得到結論

【解答】解：∵直線MA∥NB，∠A=50°，

∴∠1=∠A=50°，

∵∠B=20°，

∴∠P=30°，

故選C．

5．下列計算正確的是（）

A．a2+a2=a4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．2a2﹣a2=2????????????? D．a5?a2=a7

【考點】47：冪的乘方與積的乘方；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法．

【分析】根據冪的乘方和積的乘方、合并同類項法則、同底數冪的乘法分別求出每個式子的值，再判斷即可．

【解答】解：A、結果是2a2，故本選項不符合題意；

B、結果是a6，故本選項不符合題意；

C、結果是a2，故本選項不符合題意；

D、結果是a7，故本選項符合題意；

故選D．

6．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數是（）

A．25°????????????? B．30°????????????? C．35°????????????? D．40°

【考點】R2：旋轉的性質．

【分析】根據旋轉的性質旋轉前后圖形全等以及對應邊的夾角等于旋轉角，進而得出答案即可．

【解答】解：∵將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，

∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，

故選：B．

7．下列命題是假命題的是（）

A．若a＞b，則ac2＞bc2????????????? B．若a＞b，則a+c＞b+c

C．若ac2＞bc2，則a＞b????????????? D．若a＞b，b＞c，則a＞c

【考點】O1：命題與定理．

【分析】根據不等式的性質即可得到結論．

【解答】解：A、若a＞b，且c≠0，則ac2＞bc2，故錯誤；

B、若a＞b，則a+c＞b+c，故正確；

C、若ac2＞bc2，則a＞b，故正確；

D、若a＞b，b＞c，則a＞c，故正確；

故選A．

8．一個盒子內裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法．

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到白球的情況，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，兩次都摸到白球的有2種情況，

∴兩次都摸到白球的概率是： =．

故答案為：C．

9．如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（）

A．????????????? B．????????????? C．π????????????? D．2π

【考點】MN：弧長的計算；KK：等邊三角形的性質．

【分析】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根據弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長．

【解答】

解：∵△ABC為正三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，

∴====，

根據題意可知凸輪的周長為三個弧長的和，

即凸輪的周長=++=3×=π．

故選C．

10．如圖，將足夠大的等腰直角三角板PCD的銳角頂點P放在另一個等腰直角三角板PAB的直角頂點處，三角板PCD繞點P在平面內轉動，且∠CPD的兩邊始終與斜邊AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N，設AB=2，AN=x，BM=y，則能反映y與x的函數關系的圖象大致是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】E7：動點問題的函數圖象．

【分析】作PH⊥AB于H，根據等腰直角三角形的性質得∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，則可判斷△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，得到PA=PB=AH=，∠HPB=45°，由于∠CPD的兩邊始終與斜邊AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N，而∠CPD=45°，所以1≤x≤2，再證明∠2=∠BPM，這樣可判斷△ANP∽△BPM，利用相似比得=，則y=，所以得到y與x的函數關系的圖象為反比例函數圖象，且自變量為1≤x≤2．

【解答】解：作PH⊥AB于H，如圖，

∵△PAB為等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，

∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，

∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，

∵∠CPD的兩邊始終與斜邊AB相交，PC交AB于點M，PD交AB于點N，

而∠CPD=45°，

∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，

∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，

∴∠2=∠BPM，

而∠A=∠B，

∴△ANP∽△BPM，

∴=，即=，

∴y=，

∴y與x的函數關系的圖象為反比例函數圖象，且自變量為1≤x≤2．

故選：A．

二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分）

11．一個多邊形的每一個外角都等于30°，則該多邊形的內角和等于　1800°　．

【考點】L3：多邊形內角與外角．

【分析】多邊形的外角和是360度，即可得到外角的個數，即多邊形的邊數．根據多邊形的內角和定理即可求解．

【解答】解：多邊形的邊數是： =12．

則內角和是：（12﹣2）?180=1800°

12．已知+|a﹣b+2|=0，則ab=　1　．

【考點】23：非負數的性質：算術平方根；16：非負數的性質：絕對值．

【分析】根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．

【解答】解：由題意得，a+2=0，a﹣b+2=0，

解得a=﹣2，b=0，

所以，ab=（﹣2）0=1．

故答案為：1．

13．分解因式：﹣2a3+8a2﹣8a=　﹣2a（a﹣2）2　．

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】首先提取公因式，進而利用完全平方公式分解因式得出即可．

【解答】解：﹣2a3+8a2﹣8a

=﹣2a（a2﹣4a+4）

=﹣2a（a﹣2）2．

故答案為：﹣2a（a﹣2）2．

14．關于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是　k＜1且k≠0　．

【考點】AA：根的判別式；A1：一元二次方程的定義．

【分析】根據一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范圍．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數根，

∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，

解得k＜1且k≠0．

∴k的取值范圍為k＜1且k≠0．

故答案為：k＜1且k≠0．

15．如圖，在平面直角坐標系中，函數y=2x和y=﹣x的圖象分別為直線l1，l2，過點（1，0）作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過點A3作y軸的垂線交l2于點A4，…依次進行下去，則點A2017的坐標為．

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】寫出部分An點的坐標，根據坐標的變化找出變化規律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n為自然數）”，依此規律即可得出結論．

【解答】解：觀察，發現規律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，

∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n為自然數）．

∵2017=1008×2+1，

∴A2017的坐標為（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=．

故答案為：．

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為　π﹣4　（結果保留π）．

【考點】MO：扇形面積的計算．

【分析】圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積﹣三角形的面積，然后利用三角形的面積計算即可．

【解答】解：

設各個部分的面積為：S1、S2、S3、S4、S5，如圖所示，

∵兩個半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分的面積是：S1+S2+S4，

∴圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積．

即陰影部分的面積=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．

三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）

17．計算：|1﹣|﹣2sin45°+（）﹣2+．

【考點】2C：實數的運算；6F：負整數指數冪；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】原式利用絕對值的代數意義，特殊角的三角函數值，負整數指數冪法則，以及立方根定義計算即可得到結果．

【解答】解：原式=2﹣1﹣2×+4﹣2=+1．

18．先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a=2，b=．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】首先將括號里面進行通分運算，進而利用分式除法運算法則計算得出答案．

【解答】解：原式=×

=×

=，

把a=2，b=代入可得：

原式====2+．

19． 如圖，在△ABC中，AB=BC，點D在AB的延長線上．

（1）用尺規按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①作∠CBD的平分線BM；

②作邊BC上的中線AE，并延長AE交BM于點F．

（2）求證：BF∥AC．

【考點】N3：作圖—復雜作圖；KH：等腰三角形的性質．

【分析】（1）①作∠CBD的角平分線即可．②作線段BC的垂直平分線即可；

（2）只要證明∠DBF=∠CAB即可解決問題；

【解答】解：（1）①如圖所示，BM即為所求．②如圖所示，AF即為所求．

（2）∵BA=BC，

∴∠CAB=∠C，

∵∠CBD=∠C+∠CAB=∠CBF+∠DBF，∠CBF=∠DBF，

∴∠DBF=∠CAB，

∴BF∥AC．

四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）

20． 為了了解某市九年級學生的體育成績（成績均為整數），隨機抽取了部分學生的體育成績并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5）統計，得到統計圖、表如圖．

根據上面的信息，回答下列問題：

（1）統計表中，a=　0.15　，b=　60　，c=　240　；將頻數分布直方圖補充完整．

（2）小明說：“這組數據的眾數一定在C中．”你認為小明的說法正確嗎？　錯誤　（選填“正確”或“錯誤”）．

（3）若成績在27分及以上定為優秀，則該市30000名九年級學生中體育成績為優秀的學生人數約有多少？

【考點】V8：頻數（率）分布直方圖；V5：用樣本估計總體；V7：頻數（率）分布表；W5：眾數．

【分析】（1）首先用12÷0.05即可得到抽取的部分學生的總人數，然后用36除以總人數得到a，用總人數乘以0.25即可求出b；根據表格的信息就可以補全頻數分布直方圖；

（2）根據眾數的定義和表格信息就可以得到這組數據的“眾數”落在哪一組，進而判斷小明的說法是否正確；

（3）利用30000乘以抽查的人數中優秀的學生人數所占的頻率即可

【解答】解：（1）∵抽取的部分學生的總人數為c=12÷0.05=240（人），

∴a=36÷240=0.15，b=240×0.25=60；

統計圖補充如下：

故答案是：0.15；60；240；

（2）C組數據范圍是24.5～26.5，由于成績均為整數，所以C組的成績為25分與26分，雖然C組人數最多，但是25分與26分的人數不一定最多，所以這組數據的眾數不一定在C中．故小明的說法錯誤；

故答案是：錯誤；

（3）30000×（0.25+0.20）=13500（人）．

即該市今年30000名九年級學生中體育成績為優秀的學生人數約有13500人．

21．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG，BF．

（1）求證：AG=FG；

（2）求cos∠BGE的值．

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LE：正方形的性質；T7：解直角三角形．

【分析】（1）根據正方形的性質可得∠C=∠A=90°，DC=DA，根據翻折的性質可得DF=DC，∠DFE=∠C=90°，然后求出∠DFG=∠A=90°，DF=DA，再利用“HL”證明Rt△ADG和Rt△FDG全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）先求出BE=EC=EF=6，設AG=x，表示出EG、BG，然后利用勾股定理列方程求出x的值，從而得到BG、EG，最后根據銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可．

【解答】（1）證明：∵正方形ABCD，

∴∠C=∠A=90°，DC=DA，

∵△DCE沿DE對折得到△DFE，

∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，DF=DA，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），

∴AG=FG；

（2）解：∵正方形ABCD中，AB=12，BE=EC，

∴BE=EC=EF=6，

設AG=x，則EG=6+x，

BG=12﹣x，

在Rt△BEG中，根據勾股定理得，EG2=BE2+BG2，

即（6+x）2=62+（12﹣x）2，

解得x=4，

所以，BG=12﹣4=8，

EG=6+4=10，

所以，cos∠BGE===．

22．某商店第一次用600元購進某品牌的筆記本若干本，第二次又用600元購進同樣品牌的筆記本，但這次每本的進價是第一次的1.25倍，購進數量比第一次少了30本．

（1）求第一次每本筆記本的進價是多少元？

（2）商店以同一價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每本筆記本的售價至少多少元？

【考點】B7：分式方程的應用；C9：一元一次不等式的應用．

【分析】（1）設第一次每支鉛筆進價為x元，則第二次每支鉛筆進價為1.25x元，根據題意可列出分式方程解答；

（2）設售價為y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答．

【解答】解：（1）設第一次每本筆記本的進價為x元．

根據題意得=+30，

解得x=4，經檢驗x=4是原方程的解．

答：第一次每本筆記本的進價為4元；

（2）第一次買進筆記本150本，第二次買進筆記本120本，共270本．

設每本筆記本的售價為y元，根據題意得，

270y﹣600×2≥420，

解得y≥6．

答：每本筆記本的售價至少為6元．

五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）

23．如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）直接寫出關于x的不等式kx+b≤的解集．

（3）點P是x軸上的一點，且使PA+PB最小，求△ABP的面積．

【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）將點A（1，4）代入反比例函數解析式可得其解析式；先根據反比例函數解析式求得點B坐標，再由A、B坐標可得直線解析式；

（2）根據圖象得出不等式kx+b≤的解集即可；

（3）作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，根據B的坐標求得B′的坐標，然后根據待定系數法求得直線AB′的解析式，進而求得與x軸的交點P，再求面積即可．

【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，

∴反比例函數的解析式為y=；

把B（4，n）代入y=，得：n=1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴一次函數的解析式為y=﹣x+5；

（2）根據圖象得當0＜x≤1或x≥4，一次函數y=﹣x+5的圖象在反比例函數y=的下方；

∴kx+b≤的解集為0＜x≤1或x≥4；

（3）作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

設直線AB′的解析式為y=mx+n，

∴，

解得，

∴直線AB′的解析式為y=﹣x+，

令y=0，得﹣x+=0，

解得x=，

∴點P的坐標為（，0），

∴S△ABP=﹣=．

24．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點E，且∠CBD=∠COD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若點E為線段OD的中點，判斷以O、A、C、E為頂點的四邊形的形狀并證明；

（3）如圖2，作CF⊥AB于點F，連接AD交CF于點G，求的值．

【考點】MR：圓的綜合題．

【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，則∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根據切線的判定定理即可得到BD為⊙O的切線；

（2）連接CE、BE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BE=OE=ED，則△OBE為等邊三角形，于是∠BOE=60°，又因為AC∥OD，則∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四邊形OACE是平行四邊形，加上OA=OE，即可得到四邊形OACE是菱形；

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，則∠CAF=∠DOB，根據相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，則有=，即FC=，再由FG∥BD易證得△AFG∽△ABD，則=，即FG=，然后求FC與FG的比即可一個定值．

【解答】（1）證明：如圖1，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠CBD=∠BA，

∴∠ABC+∠CBD=90°，

∴∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD為⊙O的切線；

（2）證明：連接CE、BE，如圖1，

∵OE=ED，∠OBD=90°，

∴BE=OE=ED，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠BOE=60°，

又∵AC∥OD，

∴∠OAC=60°，

又∵OA=OC，

∴AC=OA=OE，

∴AC∥OE且AC=OE，

∴四邊形OACE是平行四邊形，

而OA=OE，

∴四邊形OACE是菱形；

（3）解：如圖2，∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠OBD=90°，

而AC∥OD，

∴∠CAF=∠DOB，

∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

∴=，即FC=，

又∵FG∥BD，

∴△AFG∽△ABD，

∴=，即FG=，

∴==2，

∴=．

25．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動．已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（0＜x＜6）．

（1）點G在四邊形ABCD的邊上時，x=　2　；點F與點C重合時，x=　3　；

（2）求出使△DFC成為等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG與四邊形ABCD重疊部分的面積y與x之間的函數關系式，并直接寫出y的最大值．

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．當等邊三角形△EGF的高=時，點G想AD上，此時x=2，當點F與C重合時，BE=BC=3，此時x=3；

（2）分三種情形：①當CF=CD且F在C左側時，當CF=CD且F在C右側時，當FC=DF時，分別構建方程即可解決問題；

（3）分圖1，圖2，圖3三種情形解決問題．①當0＜x≤2時，如圖1中，△EFG在四邊形ABCD內部，重疊部分就是△EFG；

②當2＜x＜3時，如圖2中，點E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM；

③當3≤x＜6時，如圖3中，點E在線段BC上，點F在射線BC上，重疊部分是△ECP；

【解答】解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，∠DCH=30°，

∴DH=CH?tan30°=，

當等邊三角形△EGF的高=時，點G想AD上，此時x=2，

當點F與C重合時，BE=BC=3，此時x=3，

所以點G在四邊形ABCD的邊上時，x=2，點F與點C重合時，x=3．

故答案為2，3．

（2）注意到0＜x＜6，故△DFC為等腰三角形只有三種情形：

①當CF=CD且F在C左側時，6﹣2x=2，x=3﹣，

②當CF=CD且F在C右側時，2x﹣6=2，x=3+，

③當FC=DF時，6﹣2x=，x=，

綜上所述，x的值為3﹣或3+或．

（3）①當0＜x≤2時，如圖1中，△EFG在四邊形ABCD內部，所以y=x2．

②當2＜x＜3時，如圖2中，點E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，

∴FN=FC=6﹣2x，

∴GN=3x﹣6，

∵∠G=60°，

∴△GNM是直角三角形，

∴y=S△EFG﹣S△GMN=x2﹣（3x﹣6）2=﹣x2+x﹣．

③當3≤x＜6時，如圖3中，點E在線段BC上，點F在射線BC上，重疊部分是△ECP，

y=（6﹣x）2=x2﹣x+．

2017年8月16日