2018年廣東省揭陽市九年級中考數學試題【解析版含答案】

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一、選擇題：（本題10小題，每題3分，共30分）

1．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）

A．x+=0????????????? B．ax2+bx+c=0

C．（x﹣1）（x+2）=1????????????? D．3x2﹣2xy﹣5y2=0

2．下列各未知數的值是方程x2=2的解是（）

A．x=﹣1????????????? B．x=0????????????? C．x=﹣????????????? D．x=2

3．連續拋擲一枚質地均勻的硬幣三次，有“兩次正面朝上一次反面朝上”的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．正方形具有而菱形不一定具有的性質是（）

A．內角和為360°????????????? B．對角線相等

C．對角線平分內角????????????? D．對角線互相垂直平分

5．下列能使平行四邊形ABCD是矩形的條件是（）

A．AB=CD????????????? B．AC⊥BD????????????? C．∠ABC=90°????????????? D．AD=BC

6．下列事件是必然事件的是（）

A．明天天氣是多云轉晴????????????? B．農歷15晚上一定能看見月亮

C．打開電視正在播放廣告????????????? D．晝夜交替

7．關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實數根，則m的取值范圍是（）

A．x≥0????????????? B．x≥0且≠1????????????? C．m≠1????????????? D．m＞1

8．在10000張獎券中，有200張中獎，購買1張獎券中獎的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．已知正方形ABCD，等邊三角形PAQ，其中點P在BC上，點Q在CD上，則∠BAP=（）

A．10°????????????? B．15°????????????? C．20°????????????? D．30°

10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）

12．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是．

13．若方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，其中x1+x2=﹣2，則p=．

14．某手機經過兩次連續降價，每部手機從3600元降到2500元，平均每次降價的百分率為．

15．連續擲兩枚骰子，它們的點數相同的概率是．

16．在實屬范圍內定義新運算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為．

17．如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為．

三、解答題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）

18．解方程：

（1）x2﹣4x﹣5=0

（2）2x2﹣2x﹣3=0．

19．兩廠端午節包粽子，據了解，甲廠家生產了A、B、C三個品種的粽子，乙廠家生產了D、E兩個品種的粽子，商場在甲、乙兩個廠家中各購一個品種的粽子銷售．

（1）用樹狀圖或表格法寫出所有選購方案．

（2）如果（1）中各種選購被選中的可能性相同，那么甲廠家的B種粽子被選中的概率是多少？

20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．

（1）證明：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面積．

四、解答題：（本題共3小題，每小題7分，共21分）

21．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定關系，每盆植3株時，平均盈利4元，若每盆增加1株，每盆中能在3株到5株之間，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆盈利達到15元，每盆應多植多少株？

22．已知，x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，

（1）求+的值；

（2）求一個新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數．

23．如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點E和F．

（1）在圖中畫出線段DE和DF；

（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

五、解答題：（本題共3題，每小題9分，共27分）

24．已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．

（1）k取何值時？△ABC為等腰三角形．

（2）k取何值時？△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

25．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；

（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

26．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

2018年廣東省揭陽市九年級中考數學試題參考答案與試題解析

一、選擇題：（本題10小題，每題3分，共30分）

1．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）

A．x+=0????????????? B．ax2+bx+c=0

C．（x﹣1）（x+2）=1????????????? D．3x2﹣2xy﹣5y2=0

【考點】一元二次方程的定義．

【分析】根據一元二次方程的定義：未知數的最高次數是2；二次項系數不為0；是整式方程；含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．

【解答】解：A、是分式方程，故A錯誤；

B、a=0時是一元一次方程，故B錯誤；

C、是一元二次方程，故C正確；

D、是二元二次方程，故D錯誤；

故選：C．

2．下列各未知數的值是方程x2=2的解是（）

A．x=﹣1????????????? B．x=0????????????? C．x=﹣????????????? D．x=2

【考點】解一元二次方程﹣直接開平方法．

【分析】直接開平方法求得方程的解即可判斷．

【解答】解：∵x2=2，

∴x=或x=﹣，

故選：C．

3．連續拋擲一枚質地均勻的硬幣三次，有“兩次正面朝上一次反面朝上”的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】列表法與樹狀圖法．

【分析】畫出樹狀圖，再根據概率公式計算即可得．

【解答】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知共有8種等可能結果，其中有“兩次正面朝上一次反面朝上”的有3種結果，

∴P（兩次正面朝上一次反面朝上）=，

故選：C．

4．正方形具有而菱形不一定具有的性質是（）

A．內角和為360°????????????? B．對角線相等

C．對角線平分內角????????????? D．對角線互相垂直平分

【考點】正方形的性質；菱形的性質．

【分析】因為正方形既是特殊的菱形也是特殊的矩形，所以正方形具有，但菱形不具有的就只能是矩形的性質，可得答案．

【解答】解：因為正方形既是特殊的菱形也是特殊的矩形，

所以正方形具有，但菱形不具有的就只能是矩形的性質，

即矩形的對角線相等，而菱形的對角線不一定相等．

故選B．

5．下列能使平行四邊形ABCD是矩形的條件是（）

A．AB=CD????????????? B．AC⊥BD????????????? C．∠ABC=90°????????????? D．AD=BC

【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質．

【分析】根據矩形的判定定理對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，以及利用菱形的判定定理分別得出圖形的形狀，據此分析判斷．

【解答】解：

A、平行四邊形中，AB=CD，無法判定平行四邊形ABCD是矩形，故此選項不符合題意；

B、AC⊥BD，對角線互相垂直，可判定平行四邊形ABCD是菱形．故此選項不符合題意；

C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項符合題意；

D．平行四邊形中，AD=BC，無法判定平行四邊形ABCD是矩形，故此選項不符合題意，

故選：C．

6．下列事件是必然事件的是（）

A．明天天氣是多云轉晴????????????? B．農歷15晚上一定能看見月亮

C．打開電視正在播放廣告????????????? D．晝夜交替

【考點】隨機事件．

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．

【解答】解：A、明天天氣是多云轉晴是隨機事件，故A不符合題意；

B、農歷15晚上一定能看見月亮是隨機事件，故B不符合題意；

C、打開電視正在播放廣告是隨機事件，故C不符合題意；

D、晝夜交替是必然事件，故D符合題意；

故選：D．

7．關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實數根，則m的取值范圍是（）

A．x≥0????????????? B．x≥0且≠1????????????? C．m≠1????????????? D．m＞1

【考點】根的判別式．

【分析】若一元二次方程有實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項系數不為0．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實數根，

∴△=（2m）2﹣4（m﹣1）?m≥0且m﹣1≠0，

解得：m≥0且m≠1，

故選B．

8．在10000張獎券中，有200張中獎，購買1張獎券中獎的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】概率公式．

【分析】中獎的總張數除以獎券的總張數即為能中獎的概率．

【解答】解：∵中獎的獎券有200張，獎券有10000張，

∴從中任抽一張能中獎的概率為=．

故選：A．

9．已知正方形ABCD，等邊三角形PAQ，其中點P在BC上，點Q在CD上，則∠BAP=（）

A．10°????????????? B．15°????????????? C．20°????????????? D．30°

【考點】正方形的性質；等邊三角形的性質．

【分析】先證明△AQD≌△APB，然后可知∠DAQ=∠BAP，再根據正方形與等邊三角形的性質即可求出∠BAP的值．

【解答】解：由題意可知：AD=AB，AQ=AP

在Rt△AQD與Rt△APB中，

∴Rt△AQD≌Rt△APB（HL）

∴∠DAQ=∠BAP，

∴∠DAQ+∠BAP=∠DAB﹣∠QAP=30°，

∴BAP=15°

10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】正方形的性質；勾股定理．

【分析】利用勾股定理求出CM的長，即ME的長，有DE=DG，可以求出DE，進而得到DG的長．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，M為邊DA的中點，

∴DM=AD=DC=1，

∴CM==，

∴ME=MC=，

∵ED=EM﹣DM=﹣1，

∵四邊形EDGF是正方形，

∴DG=DE=﹣1．

故選：D．

二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）

12．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　x1=1、x2=﹣2　．

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】由題已知的方程已經因式分解，將原式化為兩式相乘的形式，再根據兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0，求出方程的解．

【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0

∴x﹣1=0或x+2=0

∴x1=1，x2=﹣2，

故答案為x1=1、x2=﹣2．

13．若方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，其中x1+x2=﹣2，則p=　2　．

【考點】根與系數的關系．

【分析】根據根與系數的關系x1+x2=﹣，再代入得出p的值即可．

【解答】解：∵方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，

∴x1+x2=﹣，

∵a=1，b=p，x1+x2=﹣2，

∴﹣p=﹣2，

∴p=2，

故答案為2．

14．某手機經過兩次連續降價，每部手機從3600元降到2500元，平均每次降價的百分率為　16.7%　．

【考點】一元二次方程的應用．

【分析】根據：原售價×（1﹣降低率）2=降低后的售價，然后列出方程求解即可．

【解答】解：設每次降價的百分率為x，

依題意得：3600（1﹣x）2=2500，

化簡得：（1﹣x）2=，

解得：x=或（舍去），

所以平均每次降價的百分率為×100%≈16.7%．

故答案為：16.7%．

15．連續擲兩枚骰子，它們的點數相同的概率是　　．

【考點】概率公式．

【分析】先求出連續擲兩枚骰子時它們的點數，再求出點數相同的情況，根據概率公式即可解答．

【解答】解：連續擲兩枚骰子，它們的點數共有6×6=36個，而點數相同的情況共6種，概率是=．

16．在實屬范圍內定義新運算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為　x1=5，x2=﹣5　．

【考點】解一元二次方程﹣直接開平方法．

【分析】根據題意將原式轉化為一元二次方程進而利用直接開平方法求出即可．

【解答】解：∵a⊕b=a2﹣b2，

∴（4⊕3）⊕x=24可化為：（42﹣32）⊕x=24，

則72﹣x2=24，

故x2=25，

解得：x1=5，x2=﹣5．

故答案為：x1=5，x2=﹣5．

17．如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為　8　．

【考點】翻折變換（折疊問題）．

【分析】先設正方形的邊長為a，再根據對角線長為2求出a的值，由圖形翻折變換的性質可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由陰影部分的周長=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結論．

【解答】解：設正方形的邊長為a，則2a2=（2）2，解得a=2，

翻折變換的性質可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，

陰影部分的周長=A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）=AD+AB+BC+CD=2×4=8．

故答案為：8．

三、解答題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）

18．解方程：

（1）x2﹣4x﹣5=0

（2）2x2﹣2x﹣3=0．

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】（1）因式分解法求解可得；

（2）公式法求解可得．

【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣5）=0，

∴x+1=0或x﹣5=0，

解得：x=﹣1或x=5；

（2）∵a=2，b=﹣2，c=﹣3，

∴△=20﹣4×2×（﹣3）=44＞0，

則x==．

19．兩廠端午節包粽子，據了解，甲廠家生產了A、B、C三個品種的粽子，乙廠家生產了D、E兩個品種的粽子，商場在甲、乙兩個廠家中各購一個品種的粽子銷售．

（1）用樹狀圖或表格法寫出所有選購方案．

（2）如果（1）中各種選購被選中的可能性相同，那么甲廠家的B種粽子被選中的概率是多少？

【考點】列表法與樹狀圖法．

【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；

（2）由（1）可求得甲廠家的B品種粽子被選中的情況，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）畫樹狀圖得：

則共有6種等可能的結果；

（2）∵甲廠家的B品種粽子被選中的有2種情況，

∴P（B品種粽子被選中）=．

20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．

（1）證明：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面積．

【考點】矩形的判定；勾股定理；菱形的性質．

【分析】（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計算即可得解．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠1=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF=AD，EC=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠1=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，

所以，S菱形ABCD=8×4=32．

四、解答題：（本題共3小題，每小題7分，共21分）

21．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定關系，每盆植3株時，平均盈利4元，若每盆增加1株，每盆中能在3株到5株之間，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆盈利達到15元，每盆應多植多少株？

【考點】一元二次方程的應用．

【分析】根據已知假設每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（4﹣0.5x）元，由題意得（x+3）（4﹣0.5x）=15求出即可．

【解答】解：設每盆應該多植x株，由題意得

（3+x）（4﹣0.5x）=15，

解得：x1=2，x2=3．

因為要且盡可能地減少成本，所以x2=3舍去，

x+3=5．

答：每盆植5株時，每盆的盈利15元．

22．已知，x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，

（1）求+的值；

（2）求一個新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數．

【考點】根與系數的關系．

【分析】（1）根據根與系數的關系即可得出x1+x2=2、x1?x2=﹣3，將+變形為，代入數據即可得出結論；

（2）由x1+x2=2、x1?x2=﹣3可得出（﹣x1）+（﹣x2）=﹣（x1+x2）=﹣2、（﹣x1）?（﹣x2）=x1?x2=﹣3，結合根與系數的關系即可得出當a為1時，以﹣x1和﹣x2為兩根的一元二次方程，此題得解．

【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，

∴x1+x2=2，x1?x2=﹣3，

∴+===﹣．

（2）∵x1+x2=2，x1?x2=﹣3，

∴（﹣x1）+（﹣x2）=﹣（x1+x2）=﹣2，（﹣x1）?（﹣x2）=x1?x2=﹣3，

∴當a=1時，﹣x1和﹣x2是方程x2+2x﹣3=0的解，

即新方程為x2+2x﹣3=0．

23．如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點E和F．

（1）在圖中畫出線段DE和DF；

（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

【考點】菱形的判定與性質；作圖—復雜作圖．

【分析】（1）根據題目要求畫出線段DE、DF即可；

（2）首先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明∠EAD=∠EDA，根據等角對等邊可得EA=ED，由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證明四邊形AEDF是菱形，再根據菱形的性質可得線段AD和EF互相垂直平分．

【解答】解（1）如圖所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠FAD=∠EAD，

∵AB∥DE，

∴∠FAD=∠EDA，

∴EA=ED（等角對等邊），

∴平行四邊形AEDF是菱形，

∴AD與EF互相垂直平分．

五、解答題：（本題共3題，每小題9分，共27分）

24．已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．

（1）k取何值時？△ABC為等腰三角形．

（2）k取何值時？△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，結合實際意義可求k的值；

（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，則x1=BC或x2=BC，易求k=4或3．

【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，

∴當AB=AC時，△=b2﹣4ac=0，

∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0，

解得k不存在；

當AB=BC時，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4；

（2）①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0

4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，

不可能是等腰三角形．

②如果AB=5，或者AC=5

x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0

k2﹣7k+12=0

（k﹣4）（k﹣3）=0

解得：k=4或者k=3，

k=4時：

x2﹣11x+30=0

（x﹣5）（x﹣6）=0，

∴AB=5，AC=6，符合題意；

k=3時：

x2﹣9x+20=0

（x﹣4）（x﹣5）=0，

∴AB=4，AC=5，符合題意．

25．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；

（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

【考點】旋轉的性質；直角三角形全等的判定；正方形的性質．

【分析】（1）觀察圖形，AE、CG的位置關系可能是垂直，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，則∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）題（1）的結論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由圖知∠AEB=∠CEH=90°﹣∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得證．

【解答】解：（1）答：AE⊥GC；

證明：延長GC交AE于點H，

在正方形ABCD與正方形DEFG中，

AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，

DE=DG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠1=∠2；

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥GC．

（2）答：成立；

證明：延長AE和GC相交于點H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，

∴∠1=∠2=90°﹣∠3；

∴△ADE≌△CDG，

∴∠5=∠4；

又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，

∴∠6=∠7，

又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，

∴∠CEH+∠7=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AE⊥GC．

26．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質．

【分析】（1）根據旋轉的性質可得出OC=OD，結合題意即可證得結論；

（2）結合（1）的結論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉及全等的性質即可做出解答．

【解答】（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形．

（2）解：當α=150°時，△AOD是直角三角形．

理由是：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，

∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，

∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．

∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣=50°，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．

∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，

∠OAD==120°﹣，

∴190°﹣α=120°﹣，

解得α=140°．

綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．

2017年3月19日