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2018年周口中考數(shù)學(xué)沖刺試題

一、選擇題：每小題3分，共24分

1．﹣的倒數(shù)是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．﹣????????????? D．

2．下列計算正確的是（　　）

A．2x2+x3=3x5????????????? B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2????????????? D．﹣m2n+2nm2=m2n

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9????????????? B．（x﹣3）2=1????????????? C．（x﹣3）2=10????????????? D．（x+3）2=9

4．在數(shù)﹣1，0，2中任取兩個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么該點(diǎn)剛好在一次函數(shù)y=x+2圖象上的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

5．圖中幾何體的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．若點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)，且且x1＜x2＜0＜x3，則下列正確的是（　　）

A．y1＞y2＞y3????????????? B．y2＞y3＞y1????????????? C．y2＞y1＞y3????????????? D．y1＞y3＞y2

7．若關(guān)于x的分式方程+=3有增根，則m的值是（　　）

A．m=﹣1????????????? B．m=2????????????? C．m=3????????????? D．m=0或m=3

8．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是70°，為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形的邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器（　　）

A．3臺????????????? B．4臺????????????? C．5臺????????????? D．6臺

二、填空題：每小題3分，共21分

9．已知圓錐的側(cè)面積為15πcm2，底面半徑為3cm，則圓錐的高是______．

10．如果線段AB=45cm，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么線段BP=______cm．

11．把拋物線y=x2﹣6x+4的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是______．

12．一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中∠ABC=______．

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=______°．

14．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是______．

15．若拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集是______．

三、解答題：本大題共8小題，共75分

16．先化簡，再計算：，其中x=．

17．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度數(shù)．

18．某學(xué)校為了解學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉的情況，對某班學(xué)生每天的體育鍛煉時間進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了以下不完整的頻數(shù)分布表（如表）和扇形統(tǒng)計圖（如圖），根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

（1）求全班學(xué)生人數(shù)和m的值；

（2）該班學(xué)生的體育鍛煉時間的中位數(shù)落在______時間段；

（3）請你根據(jù)以上信息估計全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數(shù)．

19．如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2+2m=3，n2+2n=3，求代數(shù)式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

20．如圖，在玲玲家住宅樓CD的前面新建了一個大型商場AB，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時，商場在玲玲家樓上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45°時，商場樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離（B、F、C在一條直線上）．求商場AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

21．如圖所示，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點(diǎn)．

（1）試確定上述一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△AOB的面積；

（3）根據(jù)圖象直接寫出使y1＜y2的x的取值范圍．

22．某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是______（填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME．

（2）數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請給出證明過程；

（3）類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：______．

23．已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2018年周口中考數(shù)學(xué)沖刺試題參考答案

一、選擇題：每小題3分，共24分

1．﹣的倒數(shù)是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．﹣????????????? D．

【考點(diǎn)】倒數(shù)．

【分析】據(jù)倒數(shù)的意義，乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．求一個數(shù)的倒數(shù)就是用1除以這個數(shù)，0沒有倒數(shù)．由此解答．

【解答】解：1÷（﹣）=﹣3．

故選：A．

2．下列計算正確的是（　　）

A．2x2+x3=3x5????????????? B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2????????????? D．﹣m2n+2nm2=m2n

【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方；合并同類項；完全平方公式．

【分析】分別利用合并同類項法則以及冪的乘方運(yùn)算法則和完全平方公式計算得出答案．

【解答】解：A、2x2+x3，無法計算，故此選項錯誤；

B、（x2）3=x6，故此選項錯誤；

C、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此選項錯誤；

D、﹣m2n+2nm2=m2n，正確．

故選：D．

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9????????????? B．（x﹣3）2=1????????????? C．（x﹣3）2=10????????????? D．（x+3）2=9

【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法．

【分析】先把方程變形為x2﹣6x=1，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．

【解答】解：x2﹣6x=1，

x2﹣6x+9=10，

（x﹣3）2=10．

故選C．

4．在數(shù)﹣1，0，2中任取兩個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么該點(diǎn)剛好在一次函數(shù)y=x+2圖象上的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出點(diǎn)剛好在一次函數(shù)y=x+2圖象上的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算．

【解答】解：畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點(diǎn)剛好在一次函數(shù)y=x+2圖象上的結(jié)果數(shù)為1，

所以該點(diǎn)剛好在一次函數(shù)y=x+2圖象上的概率=．

故選D．

5．圖中幾何體的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖．

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．

【解答】解：從上面看可得到三個矩形左右排在一起，中間的較大，故選：D．

6．若點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)，且且x1＜x2＜0＜x3，則下列正確的是（　　）

A．y1＞y2＞y3????????????? B．y2＞y3＞y1????????????? C．y2＞y1＞y3????????????? D．y1＞y3＞y2

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【分析】由k=﹣2＜0，可得此反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，然后畫出圖象，確定各點(diǎn)的位置，即可求得答案．

【解答】解：∵k=﹣2＜0，

∴此反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，

如圖：

∴y2＞y1＞y3．

故選C．

7．若關(guān)于x的分式方程+=3有增根，則m的值是（　　）

A．m=﹣1????????????? B．m=2????????????? C．m=3????????????? D．m=0或m=3

【考點(diǎn)】分式方程的增根．

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．

【解答】解：去分母得：m﹣x﹣1=3x﹣6，

由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m﹣3=0，

解得：m=3，

故選C

8．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是70°，為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形的邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器（　　）

A．3臺????????????? B．4臺????????????? C．5臺????????????? D．6臺

【考點(diǎn)】圓周角定理．

【分析】根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得該圓周角所對的弧所對的圓心角是140°，則共需安裝360°÷140°≈3．

【解答】解：∵∠A=70°，

∴該圓周角所對的弧所對的圓心角是140°，

∴共需安裝360°÷140°≈3．

故選：A．

二、填空題：每小題3分，共21分

9．已知圓錐的側(cè)面積為15πcm2，底面半徑為3cm，則圓錐的高是　4cm　．

【考點(diǎn)】圓錐的計算．

【分析】圓錐的母線、底面半徑、圓錐的高正好構(gòu)成直角三角形的三邊，求圓錐的高就可以轉(zhuǎn)化為求母線長．圓錐的側(cè)面的展開圖是扇形，扇形的半徑就等于母線長．

【解答】解：側(cè)面展開圖扇形的弧長是6π，設(shè)母線長是r，則×6π?r=15π，

解得：r=5，

根據(jù)勾股定理得到：圓錐的高==4cm．

故答案為4cm．

10．如果線段AB=45cm，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么線段BP=　cm或　cm．

【考點(diǎn)】黃金分割．

【分析】討論：BP為較長線段或較短線段，然后利用黃金分割的定義分別計算即可．

【解答】解：當(dāng)BP為較長線段時，BP=AB=×45=cm，

當(dāng)BP為較短線段時，BP=AB﹣AB=cm．

所以BP的長為cm或cm．

故答案為cm或cm．

11．把拋物線y=x2﹣6x+4的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是　y=x2﹣7　．

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．

【分析】先把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的法則解答即可．

【解答】解：∵拋物線y=x2﹣6x+4可化為y=（x﹣3）2﹣5，

∴向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為：y=（x﹣3+3）2﹣5﹣2，即y=x2﹣7．

故答案為：y=x2﹣7．

12．一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中∠ABC=　75°　．

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．

【分析】因為三角板的度數(shù)為45°，60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．

【解答】解：如圖，∵∠BAC=45°，∠ACB=60°，

∴∠ABC=180°﹣45°﹣60°=75°．

故答案為：75°．

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=　60　°．

【考點(diǎn)】圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值．

【分析】如圖，連接BC，求出∠BAC的大小，再應(yīng)用圓周角定理，即可求出∠BOC的大小．

【解答】解：如圖，連接BC，

，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，AC=4，

∴cos∠BAC===，

∴∠BAC=30°，

∴∠BOC=30°×2=60°．

故答案為：60．

14．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是　（2，4）　．

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．

【分析】利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長，然后判斷出∠BAO=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB=2OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°得到AB′⊥x軸，然后寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)即可．

【解答】解：令y=0，則﹣x+2=0，

解得x=2，

令x=0，則y=2，

∴點(diǎn)A（2，0），B（0，2），

∴OA=2，OB=2，

∴∠BAO=30°，

∴AB=2OB=2×2=4，

∵△AOB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′，

∴∠BAB′=60°，

∴∠OAB′=30°+60°=90°，

∴AB′⊥x軸，

∴點(diǎn)B′（2，4）．

故答案為：（2，4）．

15．若拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集是　3＜x＜7　．

【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；拋物線與x軸的交點(diǎn)．

【分析】根據(jù)題意首先得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而畫出大致圖象得出不等式的解集．

【解答】解：如圖所示：

∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點(diǎn)為A（3，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為：（7，0），

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．

故答案為：3＜x＜7．

三、解答題：本大題共8小題，共75分

16．先化簡，再計算：，其中x=．

【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算．

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．

【解答】解：原式=÷=?=，

當(dāng)x=時，原式==+1．

17．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度數(shù)．

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】根據(jù)AE⊥EF即可得出∠AEF=90°，從而可得出∠AEB+∠FEC=90°，利用正方形的性質(zhì)即可得出∠B=90°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠FEC，結(jié)合AG=CE、AE=EF，即可證出△AGE≌△ECF（SAS），從而得出∠AGE=∠ECF，再通過等腰直角三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合角的計算即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=180°﹣∠AEF=180°﹣90°=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，

∴∠AEB+∠BAE=180°﹣90°=90°，

∴∠BAE=∠FEC．

在△AGE和△ECF中，，

∴△AGE≌△ECF（SAS），

∴∠AGE=∠ECF．

∵AB=BC，AG=CE，

∴BG=BE，

∴∠BGE=45°，

∴∠AGE=180°﹣∠BGE=180°﹣45°=135°，

∴∠ECF=135°，

∴∠FCD=∠ECF﹣∠ECD=135°﹣90°=45°．

18．某學(xué)校為了解學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉的情況，對某班學(xué)生每天的體育鍛煉時間進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了以下不完整的頻數(shù)分布表（如表）和扇形統(tǒng)計圖（如圖），根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

（1）求全班學(xué)生人數(shù)和m的值；

（2）該班學(xué)生的體育鍛煉時間的中位數(shù)落在　50≤x＜60　時間段；

（3）請你根據(jù)以上信息估計全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數(shù)．

【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；中位數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)C類人數(shù)有15人，占總?cè)藬?shù)的30%即可得出全班學(xué)生人數(shù)，再求出m的值即可；

（2）求出A+B+C與D+E段的人數(shù)和，進(jìn)而可得出結(jié)論；

（3）求出每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數(shù)所占的百分比與總?cè)藬?shù)的積即可．

【解答】解：（1）15÷30%=50（人），m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18．

答：全班學(xué)生人數(shù)是50人，m的值是18；

（2）∵2+5+15=22，18+10=28，

∴中位數(shù)再50≤x＜60之間．

故答案為：50≤x＜60；

（3）×5000=2800（人）．

答：全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數(shù)約為2800人．

19．如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2+2m=3，n2+2n=3，求代數(shù)式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．

【分析】利用m2+2m=3，n2+2n=3可設(shè)m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的兩實數(shù)解，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=﹣2，mn=﹣3，則利用完全平方公式變形得原式=（m+n）2﹣5mn﹣1，然后利用整體代入的方法計算．

【解答】解：∵m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2+2m﹣3=0，n2+2n﹣3=0，

∴m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的兩實數(shù)解，

∴m+n=﹣2，mn=﹣3，

∴m2﹣3mn+n2﹣1=（m+n）2﹣5mn﹣1

=（﹣2）2﹣5×（﹣3）﹣1

=18．

20．如圖，在玲玲家住宅樓CD的前面新建了一個大型商場AB，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時，商場在玲玲家樓上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45°時，商場樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離（B、F、C在一條直線上）．求商場AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．

【分析】首先構(gòu)造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可商場AB的高度．

【解答】解：過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M．

設(shè)AB為x（m）．

∵Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+13；

∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°，

AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

∴tan22°=，

=，

解得：x=12．

答：商場AB的高度為12m．

21．如圖所示，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點(diǎn)．

（1）試確定上述一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△AOB的面積；

（3）根據(jù)圖象直接寫出使y1＜y2的x的取值范圍．

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，先求得反比例函數(shù)解析式，再求得一次函數(shù)解析式；

（2）利用坐標(biāo)軸作為△AOB的分割線，求得△AOB的面積；

（3）在函數(shù)圖象上觀察，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點(diǎn)

∴將B（1，﹣3）代入反比例函數(shù)y2=可得

m=﹣3×1=﹣3

∴反比例函數(shù)為y2=

將A（﹣2，n）代入反比例函數(shù)為y2=可得

n=，即A（﹣2，）

將A（﹣2，）、B（1，﹣3）代入一次函數(shù)y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函數(shù)為y1=x﹣

（2）如圖，設(shè)一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，則

當(dāng)x=0時，y=﹣，即C（0，﹣）

∴S△AOB=S△AOC+S△COB=××2+=××1=+=

（3）根據(jù)圖象可得，使y1＜y2的x的取值范圍為：﹣2＜x＜0或x＞1

22．某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是　①②③④　（填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME．

（2）數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請給出證明過程；

（3）類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：　等腰直角三角形　．

【考點(diǎn)】三角形綜合題．

【分析】（1）操作發(fā)現(xiàn)：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

（2）數(shù)學(xué)思考：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

（3）類比探究：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

【解答】解：（1）操作發(fā)現(xiàn)：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（AAS），

∴BD=CE，AD=AE，

∵DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，

∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．

∵AB=AC，

∴AF=AG=AB，故①正確；

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴BM=CM．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，

即∠DBM=∠ECM．

在△DBM和△ECM中，

，

∴△DBM≌△ECM（SAS），

∴MD=ME．故②正確；

連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，

∴整個圖形是軸對稱圖形，故③正確．

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴∠AMB=∠AMC=90°，

∵∠ADB=90°，

∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，

∴∠ADM=∠ABM，

∵∠AHD=∠BHM，

∴∠DAB=∠DMB，故④正確，

故答案為：①②③④

（2）數(shù)學(xué)思考：

MD=ME，MD⊥ME．

理由：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，

∴AF=AB，AG=AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，

∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴MF∥AC，MG∥AB，

∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．

∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，

∴∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM=ME，∠FDM=∠GME．

∵M(jìn)G∥AB，

∴∠GMH=∠BHM．

∵∠BHM=90°+∠FDM，

∴∠BHM=90°+∠GME，

∵∠BHM=∠DME+∠GME，

∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，

即∠DME=90°，

∴MD⊥ME．

∴DM=ME，MD⊥ME；

（3）類比探究：等腰直角三角形，理由如下：

∵點(diǎn)M、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，

∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，

∴四邊形MFAG是平行四邊形，

∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°

∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，

即∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．

∵M(jìn)G∥AB，

∴∠MHD=∠BFD=90°，

∴∠HMD+∠MDF=90°，

∴∠HMD+∠EMG=90°，

即∠DME=90°，

∴△DME為等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形．

23．已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=，αβ=﹣2，進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，得出四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±4，進(jìn)而分別求出即可．

【解答】解：（1）由題意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故拋物線解析式為：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長最小，

∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴拋物線的對稱軸l為x=2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，6），

又∵拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，2），點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對稱，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，

則D′的坐標(biāo)為；（﹣2，6），E′坐標(biāo)為：（4，﹣2），

連接D′E′，交x軸于M，交y軸于N，

此時，四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，如圖1所示：

延長E′E，′D交于一點(diǎn)F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

則D′E′===10，

設(shè)對稱軸l與CE交于點(diǎn)G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四邊形DNME的周長最小值為：10+2；

（3）如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，

若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE，

∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴當(dāng)y=4時，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

當(dāng)y=﹣4時，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

2016年9月24日

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