2018年甘肅省定西市中考數學試卷

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分，共30分）

1．（3分）﹣2018的相反數是（　　）

A．﹣2018????????????? B．2018????????????? C．﹣????????????? D．

2．（3分）下列計算結果等于x3的是（　　）

A．x6÷x2????????????? B．x4﹣x????????????? C．x+x2????????????? D．x2?x

3．（3分）若一個角為65°，則它的補角的度數為（　　）

A．25°????????????? B．35°????????????? C．115°????????????? D．125°

4．（3分）已知=（a≠0，b≠0），下列變形錯誤的是（　　）

A．=????????????? B．2a=3b????????????? C．=????????????? D．3a=2b

5．（3分）若分式的值為0，則x的值是（　　）

A．2或﹣2????????????? B．2????????????? C．﹣2????????????? D．0

6．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學在一次投擲實心球訓練中，在相同條件下各投擲10次，他們成績的平均數與方差s2如下表：

若要選一名成績好且發揮穩定的同學參加比賽，則應該選擇（　　）

A．甲????????????? B．乙????????????? C．丙????????????? D．丁

7．（3分）關于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個實數根，則k的取值范圍是（　　）

A．k≤﹣4????????????? B．k＜﹣4????????????? C．k≤4????????????? D．k＜4

8．（3分）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE=2，則AE的長為（　　）

A．5????????????? B．????????????? C．7????????????? D．

9．（3分）如圖，⊙A過點O（0，0），C（，0），D（0，1），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數是（　　）

A．15°????????????? B．30°????????????? C．45°????????????? D．60°

10．（3分）如圖是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對于下列說法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的是（　　）

A．①②④????????????? B．①②⑤????????????? C．②③④????????????? D．③④⑤

二、細心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請把答案填在答題卷相應題號的橫線上）

11．（3分）計算：2sin30°+（﹣1）2018﹣（）﹣1=　?? 　．

12．（3分）使得代數式有意義的x的取值范圍是　?? 　．

13．（3分）若正多邊形的內角和是1080°，則該正多邊形的邊數是　?? 　．

14．（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，則該幾何體的側面積為　?? 　．

15．（3分）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數，則c=　?? 　．

16．（3分）如圖，一次函數y=﹣x﹣2與y=2x+m的圖象相交于點P（n，﹣4），則關于x的不等式組的解集為　?? 　．

17．（3分）如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為　?? 　．

18．（3分）如圖，是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為625，則第2018次輸出的結果為　?? 　．

三、解答題（一）解（本大題共5小題，滿分26分，請認真讀題，冷靜思考解答題應寫出必要的文宇說明、證明過程或演算步驟，請把解題過程寫在答題卷相應題號的位置）

19．（4分）計算：÷（﹣1）

20．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）作∠ACB的平分線交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關系，直接寫出結果．

21．（6分）《九章算術》是中國古代數學專著，在數學上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？譯文為：現有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數、雞的價格各是多少？請解答上述問題．

22．（6分）隨著中國經濟的快速發展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起．高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式．如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達高鐵可以縮短從A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數據：≈1.7，≈1.4）

23．（6分）如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案．

（1）如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？

（2）現將方格內空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2個涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率．

四、解答題（二）解（本大題共5小題，滿分40分，請認真讀題，冷靜思考解答題應寫出必要的文宇說明、證明過程或演算步驟，請把解題過程寫在答題卷相應題號的位置）

24．（7分）“足球運球”是中考體育必考項目之一蘭州市某學校為了解今年九年級學生足球運球的掌握情況，隨機抽取部分九年級學生足球運球的測試成績作為一個樣本，按A，B，C，D四個等級進行統計，制成了如下不完整的統計圖．

根據所給信息，解答以下問題

（1）在扇形統計圖中，C對應的扇形的圓心角是　?? 　度；

（2）補全條形統計圖；

（3）所抽取學生的足球運球測試成績的中位教會落在　?? 　等級；

（4）該校九年級有300名學生，請估計足球運球測試成績達到A級的學生有多少人？

25．（7分）如圖，一次函數y=x+4的圖象與反比例函數y=（k為常數且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B兩點，與x軸交于點C．

（1）求此反比例函數的表達式；

（2）若點P在x軸上，且S△ACP=S△BOC，求點P的坐標．

26．（8分）已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．

（1）求證：△BGF≌△FHC；

（2）設AD=a，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．

27．（8分）如圖，點O是△ABC的邊AB上一點，⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC，AB分別相交于點D，F，且DE=EF．

（1）求證：∠C=90°；

（2）當BC=3，sinA=時，求AF的長．

28．（10分）如圖，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖象經過點C（0，3），與x軸分別交于點A，點B（3，0）．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．

（1）求二次函數y=ax2+2x+c的表達式；

（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積．

2018年甘肅省定西市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分，共30分）

1．（3分）﹣2018的相反數是（　　）

A．﹣2018????????????? B．2018????????????? C．﹣????????????? D．

【考點】14：相反數．菁優網版權所有

【分析】直接利用相反數的定義分析得出答案．

【解答】解：﹣2018的相反數是：2018．

故選：B．

【點評】此題主要考查了相反數，正確把握相反數的定義是解題關鍵．

2．（3分）下列計算結果等于x3的是（　　）

A．x6÷x2????????????? B．x4﹣x????????????? C．x+x2????????????? D．x2?x

【考點】48：同底數冪的除法；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法．菁優網版權所有

【分析】根據同底數冪的除法、乘法及同類項的定義逐一計算即可得．

【解答】解：A、x6÷x2=x4，不符合題意；

B、x4﹣x不能再計算，不符合題意；

C、x+x2不能再計算，不符合題意；

D、x2?x=x3，符合題意；

故選：D．

【點評】本題主要考查整式的運算，解題的關鍵是掌握同底數冪的除法、乘法及同類項的定義．

3．（3分）若一個角為65°，則它的補角的度數為（　　）

A．25°????????????? B．35°????????????? C．115°????????????? D．125°

【考點】IL：余角和補角．菁優網版權所有

【分析】根據互為補角的兩個角的和等于180°列式進行計算即可得解．

【解答】解：180°﹣65°=115°．

故它的補角的度數為115°．

故選：C．

【點評】本題考查了余角和補角，解決本題的關鍵是熟記互為補角的和等于180°．

4．（3分）已知=（a≠0，b≠0），下列變形錯誤的是（　　）

A．=????????????? B．2a=3b????????????? C．=????????????? D．3a=2b

【考點】S1：比例的性質．菁優網版權所有

【分析】根據兩內項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解．

【解答】解：由=得，3a=2b，

A、由原式可得：3a=2b，正確；

B、由原式可得2a=3b，錯誤；

C、由原式可得：3a=2b，正確；

D、由原式可得：3a=2b，正確；

故選：B．

【點評】本題考查了比例的性質，主要利用了兩內項之積等于兩外項之積．

5．（3分）若分式的值為0，則x的值是（　　）

A．2或﹣2????????????? B．2????????????? C．﹣2????????????? D．0

【考點】63：分式的值為零的條件．菁優網版權所有

【分析】直接利用分式的值為零則分子為零進而得出答案．

【解答】解：∵分式的值為0，

∴x2﹣4=0，

解得：x=2或﹣2．

故選：A．

【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵．

6．（3分）甲、乙、丙、丁四名同學在一次投擲實心球訓練中，在相同條件下各投擲10次，他們成績的平均數與方差s2如下表：

若要選一名成績好且發揮穩定的同學參加比賽，則應該選擇（　　）

A．甲????????????? B．乙????????????? C．丙????????????? D．丁

【考點】W7：方差；W1：算術平均數．菁優網版權所有

【分析】根據平均數和方差的意義解答．

【解答】解：從平均數看，成績好的同學有甲、乙，

從方差看甲、乙兩人中，甲方差小，即甲發揮穩定，

故選：A．

【點評】本題考查了平均數和方差，熟悉它們的意義是解題的關鍵．

7．（3分）關于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個實數根，則k的取值范圍是（　　）

A．k≤﹣4????????????? B．k＜﹣4????????????? C．k≤4????????????? D．k＜4

【考點】AA：根的判別式．菁優網版權所有

【分析】根據判別式的意義得△=42﹣4k≥0，然后解不等式即可．

【解答】解：根據題意得△=42﹣4k≥0，

解得k≤4．

故選：C．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．

8．（3分）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE=2，則AE的長為（　　）

A．5????????????? B．????????????? C．7????????????? D．

【考點】R2：旋轉的性質；LE：正方形的性質．菁優網版權所有

【分析】利用旋轉的性質得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案．

【解答】解：∵把△ADE順時針旋轉△ABF的位置，

∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，

∴AD=DC=5，

∵DE=2，

∴Rt△ADE中，AE==．

故選：D．

【點評】此題主要考查了旋轉的性質以及正方形的性質，正確利用旋轉的性質得出對應邊關系是解題關鍵．

9．（3分）如圖，⊙A過點O（0，0），C（，0），D（0，1），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數是（　　）

A．15°????????????? B．30°????????????? C．45°????????????? D．60°

【考點】M5：圓周角定理；D5：坐標與圖形性質．菁優網版權所有

【分析】連接DC，利用三角函數得出∠DCO=30°，進而利用圓周角定理得出∠DBO=30°即可．

【解答】解：連接DC，

∵C（，0），D（0，1），

∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，

∴∠DCO=30°，

∴∠OBD=30°，

故選：B．

【點評】此題考查圓周角定理，關鍵是利用三角函數得出∠DCO=30°．

10．（3分）如圖是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對于下列說法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的是（　　）

A．①②④????????????? B．①②⑤????????????? C．②③④????????????? D．③④⑤

【考點】H4：二次函數圖象與系數的關系；HA：拋物線與x軸的交點．菁優網版權所有

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸判定b與0的關系以及2a+b=0；當x=﹣1時，y=a﹣b+c；然后由圖象確定當x取何值時，y＞0．

【解答】解：①∵對稱軸在y軸右側，

∴a、b異號，

∴ab＜0，故正確；

②∵對稱軸x=﹣=1，

∴2a+b=0；故正確；

③∵2a+b=0，

∴b=﹣2a，

∵當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故錯誤；

④根據圖示知，當m=1時，有最大值；

當m≠1時，有am2+bm+c≤a+b+c，

所以a+b≥m（am+b）（m為實數）．

故正確．

⑤如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大于0．

故錯誤．

故選：A．

【點評】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是熟練掌握①二次項系數a決定拋物線的開口方向，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．

二、細心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請把答案填在答題卷相應題號的橫線上）

11．（3分）計算：2sin30°+（﹣1）2018﹣（）﹣1=　0　．

【考點】2C：實數的運算；6F：負整數指數冪；T5：特殊角的三角函數值．菁優網版權所有

【分析】根據特殊角的三角函數值、冪的乘方和負整數指數冪可以解答本題．

【解答】解：2sin30°+（﹣1）2018﹣（）﹣1

=2×+1﹣2

=1+1﹣2

=0，

故答案為：0．

【點評】本題考查實數的運算、負整數指數冪、特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．

12．（3分）使得代數式有意義的x的取值范圍是　x＞3　．

【考點】72：二次根式有意義的條件；62：分式有意義的條件．菁優網版權所有

【分析】二次根式中被開方數的取值范圍：二次根式中的被開方數是非負數．

【解答】解：∵代數式有意義，

∴x﹣3＞0，

∴x＞3，

∴x的取值范圍是x＞3，

故答案為：x＞3．

【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．

13．（3分）若正多邊形的內角和是1080°，則該正多邊形的邊數是　8　．

【考點】L3：多邊形內角與外角．菁優網版權所有

【分析】n邊形的內角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的邊數，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數．

【解答】解：根據n邊形的內角和公式，得

（n﹣2）?180=1080，

解得n=8．

∴這個多邊形的邊數是8．

故答案為：8．

【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟記內角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關鍵．根據多邊形的內角和定理，求邊數的問題就可以轉化為解方程的問題來解決．

14．（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，則該幾何體的側面積為　108　．

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體；I4：幾何體的表面積；MM：正多邊形和圓；U1：簡單幾何體的三視圖．菁優網版權所有

【分析】觀察該幾何體的三視圖發現該幾何體為正六棱柱，然后根據提供的尺寸求得其側面積即可．

【解答】解：觀察該幾何體的三視圖發現該幾何體為正六棱柱，其底面邊長為3，高為6，

所以其側面積為3×6×6=108，

故答案為：108．

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是能夠根據三視圖判斷幾何體的形狀及各部分的尺寸，難度不大．

15．（3分）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數，則c=　7　．

【考點】K6：三角形三邊關系；16：非負數的性質：絕對值；1F：非負數的性質：偶次方．菁優網版權所有

【分析】根據非負數的性質列式求出a、b的值，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據c是奇數求出c的值．

【解答】解：∵a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，

∴a﹣7=0，b﹣1=0，

解得a=7，b=1，

∵7﹣1=6，7+1=8，

∴6＜c＜8，

又∵c為奇數，

∴c=7，

故答案是：7．

【點評】本題考查配方法的應用、非負數的性質：偶次方，解題的關鍵是明確題意，明確配方法和三角形三邊的關系．

16．（3分）如圖，一次函數y=﹣x﹣2與y=2x+m的圖象相交于點P（n，﹣4），則關于x的不等式組的解集為　﹣2＜x＜2　．

【考點】FD：一次函數與一元一次不等式．菁優網版權所有

【分析】先將點P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直線y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x軸下方的部分對應的自變量的取值范圍即可．

【解答】解：∵一次函數y=﹣x﹣2的圖象過點P（n，﹣4），

∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，

∴P（2，﹣4），

又∵y=﹣x﹣2與x軸的交點是（﹣2，0），

∴關于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集為﹣2＜x＜2．

故答案為﹣2＜x＜2．

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式，體現了數形結合的思想方法，準確確定出n的值，是解答本題的關鍵．

17．（3分）如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為　πa　．

【考點】MN：弧長的計算；KK：等邊三角形的性質．菁優網版權所有

【分析】首先根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧長公式求出的長=的長=的長==，那么勒洛三角形的周長為×3=πa．

【解答】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，

∴的長=的長=的長==，

∴勒洛三角形的周長為×3=πa．

故答案為πa．

【點評】本題考查了弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R），也考查了等邊三角形的性質．

18．（3分）如圖，是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為625，則第2018次輸出的結果為　1　．

【考點】33：代數式求值．菁優網版權所有

【分析】依次求出每次輸出的結果，根據結果得出規律，即可得出答案．

【解答】解：當x=625時，x=125，

當x=125時，x=25，

當x=25時，x=5，

當x=5時，x=1，

當x=1時，x+4=5，

當x=5時，x=1，

當x=1時，x+4=5，

當x=5時，x=1，

…

（2018﹣3）÷2=1007.5，

即輸出的結果是1，

故答案為：1

【點評】本題考查了求代數式的值，能根據求出的結果得出規律是解此題的關鍵．

三、解答題（一）解（本大題共5小題，滿分26分，請認真讀題，冷靜思考解答題應寫出必要的文宇說明、證明過程或演算步驟，請把解題過程寫在答題卷相應題號的位置）

19．（4分）計算：÷（﹣1）

【考點】6C：分式的混合運算．菁優網版權所有

【分析】先計算括號內分式的減法，再計算除法即可得．

【解答】解：原式=÷（﹣）

=÷

=?

=．

【點評】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．

20．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）作∠ACB的平分線交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關系，直接寫出結果．

【考點】N3：作圖—復雜作圖；MB：直線與圓的位置關系．菁優網版權所有

【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出CO，進而以點O為圓心，OB為半徑作⊙O即可；

（2）利用角平分線的性質以及直線與圓的位置關系進而求出即可．

【解答】解：（1）如圖所示：

；

（2）相切；過O點作OD⊥AC于D點，

∵CO平分∠ACB，

∴OB=OD，即d=r，

∴⊙O與直線AC相切，

【點評】此題主要考查了復雜作圖以及角平分線的性質與作法和直線與圓的位置關系，正確利用角平分線的性質求出是解題關鍵．

21．（6分）《九章算術》是中國古代數學專著，在數學上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？譯文為：現有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數、雞的價格各是多少？請解答上述問題．

【考點】9A：二元一次方程組的應用．菁優網版權所有

【分析】設合伙買雞者有x人，雞的價格為y文錢，根據“如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．

【解答】解：設合伙買雞者有x人，雞的價格為y文錢，

根據題意得：，

解得：．

答：合伙買雞者有9人，雞的價格為70文錢．

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．

22．（6分）隨著中國經濟的快速發展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起．高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式．如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達高鐵可以縮短從A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數據：≈1.7，≈1.4）

【考點】T8：解直角三角形的應用；KU：勾股定理的應用．菁優網版權所有

【分析】過點C作CD⊥AB于點D，利用銳角三角函數的定義求出CD及AD的長，進而可得出結論．

【解答】解：過點C作CD⊥AB于點D，

在Rt△ADC和Rt△BCD中，

∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，

∴CD=320，AD=320，

∴BD=CD=320，不吃20，

∴AC+BC=640+320≈1088，

∴AB=AD+BD=320+320≈864，

∴1088﹣864=224（公里），

答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，需要熟記銳角三角函數的定義．

23．（6分）如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案．

（1）如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？

（2）現將方格內空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2個涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率．

【考點】P8：利用軸對稱設計圖案；X5：幾何概率；X6：列表法與樹狀圖法．菁優網版權所有

【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；

（2）列表得出所有等可能結果，從中找到新圖案是軸對稱圖形的結果數，利用概率公式計算可得．

【解答】解：（1）∵正方形網格被等分成9等份，其中陰影部分面積占其中的3份，

∴米粒落在陰影部分的概率是=；

（2）列表如下：

由表可知，共有30種等可能結果，其中是軸對稱圖形的有10種，

故新圖案是軸對稱圖形的概率為=．

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．

四、解答題（二）解（本大題共5小題，滿分40分，請認真讀題，冷靜思考解答題應寫出必要的文宇說明、證明過程或演算步驟，請把解題過程寫在答題卷相應題號的位置）

24．（7分）“足球運球”是中考體育必考項目之一蘭州市某學校為了解今年九年級學生足球運球的掌握情況，隨機抽取部分九年級學生足球運球的測試成績作為一個樣本，按A，B，C，D四個等級進行統計，制成了如下不完整的統計圖．

根據所給信息，解答以下問題

（1）在扇形統計圖中，C對應的扇形的圓心角是　117　度；

（2）補全條形統計圖；

（3）所抽取學生的足球運球測試成績的中位教會落在　B　等級；

（4）該校九年級有300名學生，請估計足球運球測試成績達到A級的學生有多少人？

【考點】VC：條形統計圖；V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖．菁優網版權所有

【分析】（1）先根據B等級人數及其百分比求得總人數，總人數減去其他等級人數求得C等級人數，繼而用360°乘以C等級人數所占比例即可得；

（2）根據以上所求結果即可補全圖形；

（3）根據中位數的定義求解可得；

（4）總人數乘以樣本中A等級人數所占比例可得．

【解答】解：（1）∵總人數為18÷45%=40人，

∴C等級人數為40﹣（4+18+5）=13人，

則C對應的扇形的圓心角是360°×=117°，

故答案為：117；

（2）補全條形圖如下：

（3）因為共有40個數據，其中位數是第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均落在B等級，

所以所抽取學生的足球運球測試成績的中位數會落在B等級，

故答案為：B．

（4）估計足球運球測試成績達到A級的學生有300×=30人．

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

25．（7分）如圖，一次函數y=x+4的圖象與反比例函數y=（k為常數且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B兩點，與x軸交于點C．

（1）求此反比例函數的表達式；

（2）若點P在x軸上，且S△ACP=S△BOC，求點P的坐標．

【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題．菁優網版權所有

【分析】（1）利用點A在y=﹣x+4上求a，進而代入反比例函數y=求k．

（2）聯立方程求出交點，設出點P坐標表示三角形面積，求出P點坐標．

【解答】解：（1）把點A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，

∴A（﹣1，3）

把A（﹣1，3）代入反比例函數y=

∴k=﹣3，

∴反比例函數的表達式為y=﹣

（2）聯立兩個的數表達式得

解得

或

∴點B的坐標為B（﹣3，1）

當y=x+4=0時，得x=﹣4

∴點C（﹣4，0）

設點P的坐標為（x，0）

∵S△ACP=S△BOC

∴

解得x1=﹣6，x2=﹣2

∴點P（﹣6，0）或（﹣2，0）

【點評】本題是一次函數和反比例函數綜合題，考查利用方程思想求函數解析式，通過聯立方程求交點坐標以及在數形結合基礎上的面積表達．

26．（8分）已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．

（1）求證：△BGF≌△FHC；

（2）設AD=a，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．

【考點】LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；LB：矩形的性質．菁優網版權所有

【分析】（1）根據三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可；

（2）利用正方形的性質和矩形的面積公式解答即可．

【解答】解：（1）∵點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點，

∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，

∴∠CFH=∠CBG，

∵BF=CF，

∴△BGF≌△FHC，

（2）當四邊形EGFH是正方形時，可得：EF⊥GH且EF=GH，

∵在△BEC中，點，H分別是BE，CE的中點，

∴GH=，且GH∥BC，

∴EF⊥BC，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴AB=EF=GH=a，

∴矩形ABCD的面積=．

【點評】此題考查正方形的性質，關鍵是根據全等三角形的判定和正方形的性質解答．

27．（8分）如圖，點O是△ABC的邊AB上一點，⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC，AB分別相交于點D，F，且DE=EF．

（1）求證：∠C=90°；

（2）當BC=3，sinA=時，求AF的長．

【考點】MC：切線的性質；T7：解直角三角形．菁優網版權所有

【分析】（1）連接OE，BE，因為DE=EF，所以，從而易證∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，從可證明BC⊥AC；

（2）設⊙O的半徑為r，則AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===，從而可求出r的值．

【解答】解：（1）連接OE，BE，

∵DE=EF，

∴

∴∠OBE=∠DBE

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE

∴∠OEB=∠DBE，

∴OE∥BC

∵⊙O與邊AC相切于點E，

∴OE⊥AC

∴BC⊥AC

∴∠C=90°

（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=

∴AB=5，

設⊙O的半徑為r，則AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA===

∴r=

∴AF=5﹣2×=

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及平行線的判定與性質，銳角三角函數，解方程等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．

28．（10分）如圖，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖象經過點C（0，3），與x軸分別交于點A，點B（3，0）．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．

（1）求二次函數y=ax2+2x+c的表達式；

（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積．

【考點】HF：二次函數綜合題．菁優網版權所有

【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據菱形的對角線互相垂直且平分，可得P點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；

（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PQ的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

【解答】解：（1）將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

，

解得，

二次函數的解析是為y=﹣x2+2x+3；

（2）若四邊形POP′C為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上，

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E，

∵C（0，3），

∴E（0，），

∴點P的縱坐標，

當y=時，即﹣x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍），

∴點P的坐標為（，）；

（3）如圖2，

P在拋物線上，設P（m，﹣m2+2m+3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

，

解得．

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設點Q的坐標為（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

AB=3﹣（﹣1）=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=AB?OC+PQ?OF+PQ?FB

=×4×3+（﹣m2+3m）×3

=﹣（m﹣）2+，

當m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當m=時，﹣m2+2m+3=，即P點的坐標為（，）．

當點P的坐標為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為．

【點評】本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是待定系數法；解（2）的關鍵是利用菱形的性質得出P點的縱坐標，又利用了自變量與函數值的對應關系；解（3）的關鍵是利用面積的和差得出二次函數，又利用了二次函數的性質．