二項式系數怎么算

二項式系數或組合數,是定義為形如(1 + x)的二項式n次冪展開后x的系數，其中n為自然數,k為整數，二次項系數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。

二次項系數怎么算

在數學里,二項式系數或組合數,是定義為形如(1 + x)的二項式n次冪展開后x的系數（其中n為自然數,k為整數），從定義可看出二項式系數的值為整數。

廣義二項式定理把這結果推廣至負數或非整數次冪,此時右式則不再是多項式,而是無窮級數。二項式系數對組合數學很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先后地選取k件的方法總數，因此也叫做組合數。從定義出發，把n個(1+x)項的乘積展開，其中任意k項的x和n?k項的1相乘得出一個x，故此x的系數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出：當n=4, k=2時，(1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = ... + x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 + ...,所以x的系數6等于從4項物件選取2項的方法總數。

二項式系數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其余n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其余n?k件的方法。

二項式定理的定義

二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664年、1665年間提出。該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恒等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理。