余數三大定理

余數三大定理有余數的加法定理：a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。余數的乘法定理：a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。同余定理：若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余。

1.余數的加法定理

a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。

例：18，21除以5的余數分別是1和3，而18+21=39除以5的余數等于4，即是兩個余數的和1+3.

當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c所得的余數。

2.余數的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。

例：18，21除以5的余數分別是1和3，而18×21=378除以5的余數等于3，即是兩個余數的積1×3.

當余數的積比除數大時，所求的余數等于兩個余數的積再除以c所得的余數。

3.同余定理

若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a、b除以同一個數m，得到的余數相同，則a、b的差一定能被m整除。

例：18，33除以5的余數都是3，則33－18=15一定能被5整除。

論證：設除數為x，第一個商為m，余數為a，則第一個被除數為mx+a，設第二個商為n（n＜m），余數為a，則第二個被除數為nx+a，兩個被除數的差為：（m－n）x，（m+n）x是x的倍數，所以，兩個被除數的差一定能被x整除。