無(wú)理數(shù)是一種特殊的數(shù)學(xué)概念,指的是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。這個(gè)概念最初由希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家柏拉圖提出,他用這個(gè)名字來(lái)表示“不可公度的比值”,即不能用整數(shù)或普通分?jǐn)?shù)表示的比值。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命,因?yàn)樗蚱屏巳藗儗?duì)于數(shù)字和幾何的舊有認(rèn)識(shí),揭示了數(shù)學(xué)中一些基本概念的局限性。

無(wú)理數(shù)的定義有無(wú)理數(shù)也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),是不能寫(xiě)作兩個(gè)整數(shù)之比的實(shí)數(shù)。無(wú)理數(shù)的小數(shù)表示具有無(wú)限多個(gè)不重復(fù)的數(shù)字,且沒(méi)有循環(huán)模式,這意味著它們不能被寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)包括非完全平方數(shù)的平方根、圓周率π和自然對(duì)數(shù)的底e。無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)集R中有理數(shù)集Q的補(bǔ)集,因此其集合符號(hào)通常表示為CrQ。
無(wú)理數(shù)和有理數(shù)主要有以下幾種區(qū)別:概念不同。有理數(shù)包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù),是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù);無(wú)理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比例,是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。
性質(zhì)不同。有理數(shù)可以表示為兩個(gè)整數(shù)的比例,例如3/8;無(wú)理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比,例如圓周率。
范圍不同。有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張,在有理數(shù)集內(nèi),加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不為零)四種運(yùn)算均可進(jìn)行;無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。
表達(dá)方式不同。有理數(shù)可以用分?jǐn)?shù)表達(dá);無(wú)理數(shù)則不能用分?jǐn)?shù)表達(dá)。
無(wú)理數(shù)的三個(gè)特征分別是:無(wú)理數(shù)是小數(shù):這意味著無(wú)理數(shù)可以表示為小數(shù)形式。
無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù):這表明無(wú)理數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字是無(wú)限的,不會(huì)終止。
無(wú)理數(shù)是不循環(huán)小數(shù):這意味著無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不會(huì)出現(xiàn)循環(huán)模式,即每一位數(shù)字都是獨(dú)一無(wú)二的,不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。
綜上所述,無(wú)理數(shù)可以精確地定義為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。

兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和,既可能是有理數(shù),也可能是無(wú)理數(shù)。所以,兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)。例如:根號(hào)2+(3-根號(hào)2)=3這里的根號(hào)2和3-根號(hào)2...

不一定,可以是有理數(shù)。例如無(wú)理數(shù)π和另一個(gè)無(wú)理數(shù)-π的和就是有理數(shù)0,類(lèi)似的還有π+(2-π)=2等。無(wú)理數(shù),也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),不能寫(xiě)作...

判斷無(wú)理數(shù)根號(hào)表達(dá)式法:無(wú)理數(shù)可以通過(guò)根號(hào)表達(dá)式來(lái)表示,其中根號(hào)下面的數(shù)不能被有理數(shù)整除。例如,√2、√3和√5等都是無(wú)理數(shù)。可以通過(guò)判斷一...

有理數(shù)為整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)。正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)合稱(chēng)為正有理數(shù),負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)合稱(chēng)為負(fù)有理數(shù),因而有理數(shù)集的數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。無(wú)理數(shù),...

無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)別:有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)形式時(shí),有理數(shù)能寫(xiě)成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù),所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比;而無(wú)理數(shù)不能。...

1.010010001…是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式,小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè),并且不會(huì)循...

有理數(shù)的定義:有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng),是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。無(wú)理數(shù)的定義:無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),是所有非有理數(shù)的實(shí)數(shù)。無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)...

有理數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容之一,在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用,是繼續(xù)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、直角坐標(biāo)系、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)內(nèi)容以...