面面垂直的判定定理

判定定理：一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直。推論：1、如果一個平面的垂線平行于另一個平面，那么這兩個平面互相垂直。2、如果兩個平面的垂線互相垂直，那么這兩個平面互相垂直。（可理解為法向量垂直的平面互相垂直）

面面垂直性質定理

1.若兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

2.若兩個平面垂直，則過第一個平面內任意一點，向另一平面作這條垂線必在第一個平面內。

3.若兩個平面垂直，則兩個平面內除了交線的各任意的兩條直線都互相垂直。

面面垂直定理證明

證明：任意兩個平面關系為相交或平行，設a⊥β，垂足為P，那么P∈β

∵a?α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共點P，因此α與β相交。

設α∩β=b，∵P是α和β的公共點

∴P∈b

過P在β內作c⊥b

∵b?β，a⊥β

∴a⊥b，垂足為P

又c⊥b，垂足為P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c?β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根據面面垂直的定義，α⊥β