角平分線性質定理及證明方法

三角形其中一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。接下來分享角平分線性質定理及證明方法。

角平分線的性質定理

1.角平分線可以得到兩個相等的角。

2.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

3.三角形的三條角平分線交于一點，稱作三角形內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。

4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。

證明方法

1.角平分線線上的點到角兩邊的距離相等。

若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

2.三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例

在三角形ABC中，當AD是頂角A的角平分線交底邊于D時，BD/CD=AB/AC。

證明：

如圖，AD為△ABC的角平分線，過點D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF。

S△ABD：S△ACD=BD/CD

又因為S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC。